f(x)=tx^2+x-2/t Nullstellen und Scheitelpunkt für die Kurvenschar

Question

Ich benötigte für angegebene Funktion die Nullstellen und den Scheitelpunkt. Hab es mit pq-Formel und Mitternachtsformel probiert, komme aber bei der Probe zu keiner richtigen Lösung.... Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das prima. f(x)=tx^2+x-2/t

Answer 1

f(x)=tx²+x-2/t  = 0  Nullstellen mit pq:

x²+x/t-2/t^2 = 0

x =  - 1/ 2t    ± wurzel (  1 / 4t^2  - - 2/t^2 )

=  - 1/ 2t    ± wurzel (  1 / 4t^2  + 8/4t^2 )

=  - 1/ 2t    ±   3 / 2t

also x= -4/ 2t = -2/t   oder  x =  2/2t =  1/t

Scheitelpu. also in der Mitte zwischen den Nullstellen

bei x= -1/2t    y= -9 / 4t

Comments

Danke für die schnelle Hilfe. Prima.

Answer 2

t  kann nicht Null sein. Ansonsten multipliziere mit t und substituiere


    u  :=  t  x   (  1  )


    Dann kannst dusehr wohl; denn dann wirst du geführt auf die gewöhnliche quadratische Gleichung



          u  ²  +  u  -  2  =  0     (   2   )


    Nein ich mach das jetzt nicht mit Mitternachtsformel;  schau mal hier, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der " Satz über rationale Nullstellen "  ( SRN )

   Hast du dich von deinem ersten Schreck erholt?
   WARUM ist Wurzel 2 irrational?
    Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich zwei pq-formeln - und du weißt, wie wichtig dass pq-Formeln sind:


      u1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q     (  3a  )

    p1  p2  =  a0  =  (  -  2  )    (  3b  )

   q1  q2  =  a2  =  1   (  3c  )


   diese beiden Identitäten ( 3bc ) versetzen übrigens jener Behauptung aus Wiki den Todesstoß, der SRN könne von Gauß abstammen.
   Gauß war doch ein Genie.
   Und der sollte die Bedeutung von ( 3bc ) nicht erkannt haben?
   Und niemand vor mir sollte in den letzten 200 Jahren diese Idee gehabt haben? Abwegig.

Sind ( 3bc ) schon hinreichend? Nein; überlebenswichtig für jede Klausur - hier ist ja auch noch das Vorzeichen strittig - ist immer der Vieta von  (  2  )

u1  +  u2  =  p  =  (  -  1  )    (  4a  )

u1  =  (  -  2  )  ;  u2  =  1    (  4b  )

Was bei ===> Ly-cos alle wissen:  Der Scheitel liegt übrigens genau in der Mitte zwischen u1 und u2

u0  =  (  -  1/2  )    (  4c  )

Answer 3

\(f(x)=tx^2+x-\frac{2}{t}\)

Scheitelpunktbestimmung:

\(f'(x)=2tx+1\)

\(2tx+1=0\)   \(2tx=-1\)

\(x=-\frac{1}{2t}\)

\(f(-\frac{1}{2t})=t(-\frac{1}{2t})^2+(-\frac{1}{2t})-\frac{2}{t}=-\frac{9}{4t}\)