Bestimmtes Integral mit Substitution berechnen?

Question

Hallo liebe Mathe Interessierten,

ich habe eine Mathe Aufgabe, wo ich leider nicht die Lösung nachvollziehen kann.

Mithilfe von Wolfram Alpha habe ich mir bereits den Lösungsweg angeschaut.

Die Mathe Aufgabe:

Hier der Lösungsweg für Wolfram Alpha. Darunter schreibe ich dann, wo ich etwas nicht nachvollziehen konnte.

Und zwar geht es relativ am Anfang schon los, dort wird von 'long division' gesprochen, da frage ich mich was genau da gemacht wird. Der Anfangsterm wird ja in 2 Brüche unterteilt mit einer +1 am Ende. Mit welchem Verfahren geschieht das denn und wie kommt man wieder auf den ursprünglichen Term wenn man das zusammenrechnet?

Also gut, danach wird die Konstante -2 vor das erste Integral geschoben und insgesamt der Term in 3 Integrale aufgeteilt. Warum aber wird das denn gemacht, was möchte man damit erreichen?

Beim dritten Schritt wird dann substituiert, da habe ich mir schon ein Video zu angeschaut, ich weiß also ungefähr was da gemacht wird. Allerdings wurde in der Aufgabe die in dem Video gerechnet wurde, dass ich gesehen habe, keine drei Integrale erstellt, hier wird ja nur beim ersten Integral mit der -2 die Substitution darauf angewendet. Danach wird etwas mit der 'antiderivative' -> Stammfunktion? gemacht? Das kann ich dann nicht ganz nachvollziehen, wieso wird hier der Logarithmus benutzt?

Wenn mir jemand diese Aufgabenlösung etwas genauer erläutern könnte, wäre ich ihm/ihr sehr dankbar! :-)

und noch einen schönen Tag.

Answer 1

Anfang ==> Polynomdivision

Das wird benutzt, um deinen Bruch aufzuteilen. Also so in der Art der Partialbruchzerlegung, bei der ein Bruch in dem im Nenner und Zähler ein Polynom steht, in eine Addition mehrerer leichterer Brüche aufgeteilt wird. Das lässt sich dann leichter integrieren.

Dann hast du dort eine Addition stehen. Wir teilen nun in mehrere Integrale auf. Das ist eine ganz normale Rechenregel. Wir können in einer Addition auch jedes Glied einzeln integrieren oder ableiten und dann diese einzelnen Integrationen und Ableitungen aufeinanderaddieren.

Zur Substitution und dem Logarithmus:
Du substituierst doch so, dass du 1/s erhältst. Es ist bekannt, dass die Aufleitung von 1/s = log(s) ist bzw. die Ableitung von log(s) = 1/s .

"Danach wird etwas mit der 'antiderivative' -> Stammfunktion? gemacht?"

Hinweis : Logarithmus-Rechenregeln: log(a)+log(b) = log(a*b)

EDIT: long division = Partialbruchzerlegung

Answer 2

Und zwar geht es relativ am Anfang schon los, dort wird von 'long division' gesprochen, da frage ich mich was genau da gemacht wird. Der Anfangsterm wird ja in 2 Brüche unterteilt mit einer +1 am Ende. Mit welchem Verfahren geschieht das denn und wie kommt man wieder auf den ursprünglichen Term wenn man das zusammenrechnet?

Methode heißt Partialbruchzerlegung !