Ich habe mich mit dieser Aufgabe auseinandergesetzt aber ich komme leider nicht weiter :
Bestimme alle lokalen und absoluten Extrema der Funktion
$$f:\quad [0,\infty )\quad \longrightarrow \quad IR,\quad x\quad \mapsto \quad ({ x }^{ 3 }-x+2)exp(-x)$$
Durch die Produktregel leiten wir die Funktion ab:
$${ f }'(x)=(3{ x }^{ 2 }-1).{ e }^{ -x }+({ x }^{ 3 }-x+2).{ -e }^{ -x }$$
$$=(3x^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+x-3).{ e }^{ -x }$$
Wir leiten die Funktion nochmal ab,und jetzt ist die Frage warum leiten wir die Funktion zweimal ab?:
$$f''(x)=(-3{ x }^{ 2 }+6x+1).{ e }^{ -x }+(3{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+x-3).(-{ e }^{ -x })$$
$$=({ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+5x+4).{ e }^{ -x }$$
Als nächster Schritt schreiben wir folgendes:
$$f'(x)=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3).{ e }^{ -x }$$
$${ e }^{ -x }\neq 0$$
$$\frac { (-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3).{ e }^{ -x } }{ { e }^{ -x } } $$
$$=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3)$$
Warum haben wir hier die erste Ableitung genommen,könnten wir auch die zweite Ableitung nehmen und folgendes schreiben?
$$f'(x)=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3)=0$$
Ich gehe davon aus,dass wir die Nullstellen finden müssen aber ab hier brauche ich eure Hilfe.
Ich bedanke mich bei Rückmeldung:)
