Orthogonalprojektion bestimmen

Question

könnte jmd. kurz überprüfen ob die von mir bestimmte Orthogonalprojektion von V auf U korrekt ist?

Es war zu bestimmen:

$$pr_{U} = ( \begin{pmatrix}  1 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}) \ \ für \ U = \mathbb{R}  \begin{pmatrix}  6& 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \  $$

Die Beispiele dazu im Skript (siehe unten)

Wenn ich es wie unten im Beispiel berechne komme ich auf $$pr_{U}(x) = (3, 1.5, 1, 0.5)$$

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Answer 1

Hi,

ich gehe davon aus das Du folgendes meinst. \( s_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) und \( s_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \) und diese beiden Vektoren bilden den UVR  \( U \). Dieser soll auf die beiden Vektoren \( v_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \) projiziert werden wobei die \( s_i \) orthogonal zueinander sein müssen, was hier schon gegeben ist. Dazu muss man folgende Rechnung machen.
$$ \sum_{i=1}^2 \frac{ <s_i,v_j> }{ <s_i,s_i> } s_i  $$ für \( j = 1,2 \) und das ergibt bei mir die Vektoren
\( \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}  \) und \( \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}  \)

also nicht das was Du gerechnet hast.

Vielleicht habe ich aber die Aufgabe auch falsch verstanden, denn so wie Du sie aufgeschrieben hast ist es mir nicht richtig klar geworden, was Du meinst.