sin(x) + cos(x) = -1 ausrechnen

Question

ich habe folgende Aufgabe:

sin(x) + cos(x) = -1

Hier soll ich jetzt an x ran.

Dazu hab ich 2 Möglichkeiten:

$$ sin(x)\quad =\quad \sqrt { 1-cos^{ 2 }(x) } \\ \\ oder\\ \\ cos(x)\quad =\quad \sqrt { 1-sin^{ 2 }(x) } $$

einsetzen in die obere Gleichung.

Aber genau da hängts.. Komm hier nicht mehr weiter..

Gibts da irgendeine Lösung?

Gruß

Answer 1

$$ \sin(x) + \cos(x) = -1  $$
$$           sin(x)\quad =\quad \sqrt { 1-cos^{ 2 }(x) } \\ $$
$$ \sqrt { 1-cos^{ 2 }(x) } + \cos(x) = -1  $$
$$ \sqrt { 1-cos^{ 2 }(x) }  = -1 - \cos(x)$$
$$ \left(  \sqrt { 1-cos^{ 2 }(x) } \right) ^2=\left(  -1 - \cos(x) \right) ^2$$

Comments

Geht hier auch der Satz vom Nullprodukt?

$$ \sin { x+\cos { x=-1 }  } \\ \quad \sin { x+\cos { x+1=0 }  } \\ \\ \sin { x=0\quad  } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cos { x+1=0\quad  } \quad |\quad -1\quad \\ x{ 1 }=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cos { x=-1 } \\ { x }{ 2 }=\pi \quad \\ { x }_{ 3 }=2\pi $$

Wäre das so richtig?

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Ich sehe hier kein Nullprodukt, sondern eine Nullsumme!

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Und was hat das zu bedeuten ? 
Mfg

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Wo kein Nullprodukt ist, kann man die Nullproduktregel nicht anwenden.

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Kannst Du nicht erkennen, wie mit meinem Ansatz weiter zu verfahren ist?

Answer 2

$$\sin x+\cos x=-1$$$$\sqrt2\cdot\sin\left(x+\frac\pi4\right)=-1.$$