Matrix Gleichungssystem nicht lösbar?

Question

Huhu,

ich habe mal eine Frage zu dieser Matrix hier.

1     4     -5    | 3
2     0      5    | 7
3     4      0    | 10

Ich soll die Lösungsmenge dieser Matrix bestimmen und rechne schon einige Zeit daran herum.
Egal was ich mache....2. Zeile minus 1. Zeile oder 3. Zeile plus 1. Zeile.
Mein Ergebnis ist aber immer wieder 0 = 0 also unendlich viele Lösungen.... was definitiv falsch ist da ich die Lösungen schon habe. ( es sei denn die Lösungen sind falsch )

Hoffe ihr könnt mir helfen und mir vielleicht einen Tipp geben was ich falsch mache.

Answer 1

( es sei denn die Lösungen sind falsch )

Das liesse sich durch eine Probe leicht nachvollziehen - wobei das nicht bedeutet, dass die "falschen" Lösungen wirklich falsch sind...

Es sind vielleicht nur nicht alle!

$$ 1  \quad    4   \quad    -5    | \quad  3 \\2   \quad    0   \quad     5    | \quad  7 \\3   \quad    4    \quad    0    |  \quad 10  $$
      III - I :
$$2   \quad    0   \quad     5    | \quad  7 \\2   \quad    0    \quad    5    |  \quad 7  $$

zeigt, dass keine lineare Unabhängigkeit vorliegt

Comments

hmm ok, danke. und wie komme ich da jetzt weiter ?

Ich muss die Matrix doch nach x1, x2 und x3 umformen.... was ja aber nicht möglich ist wenn ich immer nur 0=0 bekomme... oder?

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Entweder handelt es sich um eine Aufgabe, bei der man merken soll, dass das nicht geht oder es ist ein Teil einer Aufgabe, deren vorangegangene Schritte bereits fehlerhaft sein könnten.

Mal schauen, ob ich meine Kristallkugel schneller auspacken kann, als Du die komplette Aufgabenstellung postest ...

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Das ist leider wirklich die komplette Aufgabe...

Ich soll die Lösungsmenge des LGS bestimmen mit a = 4.

1     a     -5        | 3 
2     0      a+1    | 7 
3     a      0        | 10

In dem ersten Post habe ich nur schon die 4 für das a eingesetzt...
Die Lösungen sollen das sein...

x1 = 3,5 - 20r,
x2 = -0,125 +15r,
x3 = 8r

 wie ich darauf aber komme weiß ich nicht... bzw. wie man das an sich ausrechnet weiß ich eigentlich schon aber ich komme halt nicht auf diese Ergebnisse weil bei mir immer beim umformen 0 = 0 raus kommt =(

Suche da schon einige Zeit im Internet aber so langsam kriege ich den verdacht das da einfach eine falsche Aufgabe gegeben wurde.

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$$ 1  \quad    a   \quad    -5    | \quad  3 \\2   \quad    0   \quad     a+1    | \quad  7 \\3   \quad    a    \quad    0    |  \quad 10  $$
$$\begin{pmatrix}  1 & a&-5 \\2 & 0&a+1 \\3 & a&0  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\7\\10 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}  6 & 6a&-30 \\6 & 0&3a+3 \\6 & 2a&0  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\21\\20 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}  0 & 6a&-3a -33 \\ & & \\0 & -2a&3a+3  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} y\\\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\\\1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}  0 & 2a&-a -11 \\ & & \\0 & -2a&3a+3  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} y\\\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\\\1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}   2a-8  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}$$
Nullproduktsatz:
$$2a-8=0$$oder/und$$z=0$$
Für $$a \ne 4 \land z=0 $$
$$\begin{pmatrix}  6 & 6a&-30 \\6 & 0&3a+3 \\6 & 2a&0  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\21\\20 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}  6 & 6a&-30 \\6 & 0&3a+3 \\6 & 2a&0  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\21\\20 \end{pmatrix}$$
Zeile II:
$$6x +0 \cdot y+(3a+3) \cdot 0=21$$$$6x=21$$  $$x=\frac{21}6$$
Zeile III:
$$ 6 \cdot \frac{21}6 +2a \cdot y +0\cdot 0 =20$$$$ {21} +2a \cdot y  =20$$$$ 2a \cdot y  =-1$$$$  y  =-\frac1{2a}$$
Das sollte jetzt für jedes beliebige a passen:
$$\begin{pmatrix}  1 & a&-5 \\2 & 0&a+1 \\3 & a&0  \end{pmatrix} \, \cdot \, \begin{pmatrix} \frac{21}6\\-\frac1{2a}\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\7\\10 \end{pmatrix}$$

=================

Wie Du siehst, war es völlig unnötig zu verraten, dass es "a" gibt, weil dadurch gaaakeine!!! Lösungsmöglichkeiten verlorengegangen wären - grrrrrr...

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ouhh ok hätte nicht gedacht das man bei einsetzen so viel falsch machen könnte, sry.

danke für die Hilfe nochmal !