Question

Aufgabe:Für welche Zahlen a ist das folgende Gleichungssystem NICHT eindeutig lösbar? Lösen Sie das Gleichungssystem für jedes dieser a.

((1+a  3 0),(a a 1), (-1 0 1))*(x₁ x₂ x₃)=(-1 0 1)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Eine ähnliche Frage hattest du hier:

https://www.mathelounge.de/792084/aufgabe-bestimmen-folgende-lineare-gleichungssystem-losbar

Da hattest du sogar einen Ansatz.

Answer 2

Aloha :)

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Genau eine Lösung hat es immer dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist.

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}1+a & 3 & 0\\a & a & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right|$$Wenn wir die 3-te Zeile von der zweiten Zeile subtrahieren, bekommen wir in der letzten Spalte zwei Nullen und können die Determinate leichter entwickeln:$$=\left|\begin{array}{rrr}1+a & 3 & 0\\a+1 & a & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right|=(1+a)\cdot a-(a+1)\cdot3=(a+1)(a-3)$$

Das lösen wir gar nicht mehr weiter auf, weil wir sofort erkennen, dass die Determinante zu null wird für \(a=-1\) oder \(a=3\). Für diese beiden Fälle gibt es also keine eindeutige Lösung. Das heißt, eine eindeutige Lösung gibt es genau dann, wenn \(a\ne-1\) und \(a\ne3\) gilt.

Comments

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen

Das ist im Allgemeinen falsch und gilt nur, falls der zugrundeliegende Körper unendlich viele Elemente hat.

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Siehst du in der Aufgabenstellung irgendeinen Hinweis darauf, dass wir uns in einem Körper mit endlich vielen Elementen befinden? Ich auch nicht.

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Siehst du einen Hinweis, dass wir uns in einem Körper mit unedlich vielen Elementen befinden? Ich sagte übrigens "im Allgemeinen" und nicht "in diesem konkreten Fall", denn in der Tat gehe ich auch davon aus, dass wir uns über einem unendlichen Körper befinden.

Solch hingeworfene Aussagen - ohne die Voraussetzungen richtig zu klären - sind aber einfach schädlicher als nützlich und sorgen nur für maximale Verwirrung bei den Leuten. Oft genug habe ich das auch schon als Antwort für LGS über endlichen Körpern gelesen (auch schon in Klausuren)... Zumal die Aussage für deine (ansonst gute) Antwort auch wirklich absolut überhaupt keine Rolle spielt ;)

Answer 3

$$\begin{pmatrix} 1+a& 3&0 \\ a& a&1\\-1&0&1\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\1\end{pmatrix} $$ 

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ a& a&1\\1+a&3&0\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\-1\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& a&1+a\\0&3&1+a\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ a\\a\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 3&1+a\\0&a&1+a\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ a\\a\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 1&(1+a)/3\\0&a&1+a\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ a/3\\a\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 1&(1+a)/3\\0&0&(1+a)*(3-a)/3\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ a/3\\(3a-a^2)/3\end{pmatrix} $$

Für a=3 gibt es auch keine Lösung, da ich durch (3-a)teile

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 1&(1+a)/3\\0&0&(1+a)\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ a/3\\a\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 1&0\\0&0&(1+a)\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\a\end{pmatrix} $$

a=-1 führt zum Widerspruch. Das GLS ist dann nicht lösbar.

$$\begin{pmatrix} 1& 0&-1\\ 0& 1&0\\0&0&1\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\a/(1+a)\end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0& 1&0\\0&0&1\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_3 \\ x_2\\x_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1/(1+a) \\ 0\\a/(1+a)\end{pmatrix} $$

$$x_1=a/(1+a)$$$$x_2=0$$$$x_3=-1/(1+a)$$

Comments

Genau das meine ich. Ich weiss nicht wie ich das hier aufschreibe.

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Ich schreibe das mit dem Smartphone, da gibt es das Textfeld und darüber ganz links, gibt es ein Feld \( \sqrt[4]{x} \) das klickst du an, dann wird die u.A. eine Matrix angeboten. Das ist eine 2 mal 2 Matrix, mit a, b in der ersten Zeile und c,d in der zweiten Zeile. Innerhalb halb der Zeile dient das & als Trennzeichen und eine neue Zeile bekommst du mit \\, ja es ist mühsam, doch du willst etwas von uns, darum ist es auch gerecht wenn du uns die Aufgabe so gibst dass wir nicht erst raten müssen. Also gut, ich ändere meine Antwort, doch auf dem Smartphone dauert es.

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So, jetzt habe ich die Antwort geändert.