Sei die längere Trapezseite a dann ist die kürzere a/2. Das Trapez hat die Höhe h. Dann ist die Fläche
G = (a + a/2)/2 * h = 3/4·a·h
Wenn ich mich mal auf gleichschenklige Trapeze beschränke ist der Umfang
U = a + a/2 + √((a/4)^2 + h^2) = √(a^2 + 16·h^2)/4 + 3·a/2
Nun ist die Oberfläche des Prismas
O = 2 * G + U * k
O = 2 * 3/4·a·h + √(a^2 + 16·h^2)/4 + 3·a/2 * 9.5
O = √(a^2 + 16·h^2)/4 + 3·a·h/2 + 57·a/4 = 390.5
Auflösen nach h ergibt
h = (√(9·a^4 + 12992·a^2 - 712272·a + 9759376) + 3·a·(57·a - 1562))/(2·(4 - 9·a^2))
Nun kann man mal für a mehrere werte einsetzen und a und h auflisten
[1, 150.4999169;
2, 90.49965469;
3, 63.22646397;
4, 47.64135801;
5, 37.55637690;
6, 30.49631325;
7, 25.27734734;
8, 21.26201097;
9, 18.07658682;
10, 15.48747009]
Wie gesagt beschränke ich mich hier mal auf gleichschenklige Trapeze. Wenn man diese Einschränkung nicht macht bekommt man noch viel mehr passende Grundflächen.
Als nächstes könnte man fragen für welches Trapez die Schachtel ein maximales Volumen hat. Wenn du in Extremwertaufgaben schon Erfahrung hast, könntest du das mal probieren zu bestimmen.
Aber vielleicht schaust du erstmal ob meine Rechnung überhaupt stimmt indem du z.B. mal die Oberfläche eines Trapezprismas für a = 5 und h = 37.55637690 bestimmst.
