Rekursive Folge mit a(n-1) und a(n-2) explizit darstellen

Question

$$a_1 = -1$$

$$a_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ a_n =  \frac{\sqrt{n^2-1}^{n-1}}{n^n} \cdot   \frac{\sqrt{(n-1)^2-1}^{n-2}}{(n-1)^{n-2}} \cdot a_{n-2} -\frac{\sqrt{n^2-1}^{n-1}}{n^n} \cdot a_{n-1}$$

Weiß jemand wie ich ein belibiges a_n explizit bestimme?

Comments

1. Erkläre noch, wie deine "Wurzelexponenten (?)" genau gemeint sind.

2. Tipp: Berechne mal die ersten zehn Glieder deiner Folge. Vielleicht ergibt sich dann eine erkenbare Regelmässigkeit.

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gemeint ist

$$ a_n =  \frac{(\sqrt{n^2-1})^{n-1}}{n^n} \cdot   \frac{(\sqrt{(n-1)^2-1})^{n-2}}{(n-1)^{n-2}} \cdot a_{n-2} -\frac{(\sqrt{n^2-1})^{n-1}}{n^n} \cdot a_{n-1} $$

Die Wurzel als ganzes wird potenziert

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using System;

using System.Collections.Generic;

namespace Rekursion

{

public static class Program

{

public static List<double> a { get; set; } = new List<double>();

public static void Main(string[] args)

{

a.Add(-1);

a.Add(Math.Sqrt(3) / 2);

for (int i = 2; i < 20; i++)

{

a.Add(function(i));

}

for (int i = 0; i < 20; i++)

{

Console.WriteLine(a[i]);

}

Console.ReadKey();

}

public static double function(int n)

{

double a1 = a[n-1];

double a2 = a[n-2];

double an = Math.Sqrt(n.high(2) - 1).high(n-1);

an /= n.high(n);

an *= Math.Sqrt((n - 1).high(2) - 1).high(n - 2);

an /= (n - 1).high(n - 2);

an *= a2;

an -= Math.Sqrt(n.high(2) - 1).high(n - 1) / n.high(n) * a1;

return an;

}

public static double high<T>(this T a, int n)

where T: struct

{

double d = Convert.ToDouble(a);

double e = d;

for (int i = 1; i < n; i++)

{

e *= d;

}

return e;

}

}

}

Also wer da eine Regelmäßigkeit feststellt, hat ein wirklich scharfes Auge. Also numerisch sehe ich da nichts. Da muss man wohl analytisch rangehen und das ist dann wohl eher unter der Kategorie Zahlenrätsel zu sehen...

Da ist wieder der Vorteil der Praxis, da ist alles begrenzt :D Man legt einen Spline durch das vorher definierte Intervall und fertig. Okay Splines sind mehrere Funktionen, damit man der Aufgabe gerecht wird, wird eine stark oszillierende Polynom Interpolation genutzt :-P Nähert man den Grad an unendlich mit den unendlichen Stützstellen hat, man eine explizite Darstellung :D Und da eh nur an den Stützstellen ausgewertet wird interessiert ja niemanden was dazwischen passiert.

Aber jetzt mal ernsthaft was ist der Trick? Weißt du es mittlerweile?

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naja die Folgenmitglieder sind eigentlich determinanten abhängig von der Dimension,

ich hab jetzt einfach gezeigt, dass sie niemals null ist, da mir das eigentlich reicht.

man kann leicht zeigen, dass sie größer null für gerade n und kleiner null für ungerade n ist

ich glaube, dass sie zudem divergiert.

Answer 1

Eine allgemein anwendbare Methode:

Seien a₀ und a₁ gegeben und sei a_n+1 = A_n a_n+ B_n a_n-1 mit A_n, B_n Folgen reeller Zahlen, in deinem Fall die Wurzelausdrücke. Führe jetzt die Hilfsfolge b_n:= a_n-1 ein. Damit erhältst Du

a_{n+1 =} A_n a_n + B_n b_n
b_n+1 =      a_n  + 0 * b_n

Formuliere dieses System in Matrixschreibweise mit einer Matrix A die nur von A_n und B_n abhängt. Diagonalisiere A und berechne damit die n'te Potenz von A, lese jetzt explizite Formeln für a_n+1 ab.