Polynomdivision bei ganzrationaler Funktion X^3 - 2X^2 -5X +6

Question

Bei der Fkt. X³ - 2X² -5X +6 

Comments

Suchst du die Nullstellen von: f(x) =  x³ - 2x² -5x +6  ?

Wenn ja, musst du nun erst mal eine erste Nullstelle im Kopf erraten. 

Hast du die schon? 

Answer 1

X³ - 2X² -5X +6  = 0   darum geht es wohl ???

Raten  x=1 dann

( X³ - 2X² -5X +6  ) : ( x - 1 ) =  x^2  - x   -  6

x^3 - x^2

-----------

        -x^2 - 5x

       -x^2 + x

       ------------

                 -6x + 6

                 -6x + 6

               -----------

                           0

Answer 2

x^3 - 2·x^2 - 5·x + 6

Eine Nullstelle sieht man sofort bei 1 weil die Summe der Koeffizienten 0 ist.

1 + (- 2) + (- 5) + 6 = 0

Also Polynomdivision durch (x - 1)

(x^3 - 2·x^2 - 5·x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6

Bei der Polynomdivision hilft dir eventuell auch https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

Das Restpolynom könnte man jetzt leicht mit dem Satz von Vieta faktorisieren

x^2 - x - 6 = (x + 2)·(x - 3)

Faktorisiert lautet deine Funktion also

x^3 - 2·x^2 - 5·x + 6 = (x - 1)·(x + 2)·(x - 3)

Answer 3

An alle: Die Linearfaktorzerlegung des vorgelegten Terms oder die Nullstellenmenge der durch diesen Term festgelegten Polynomfunktion lässt sich völlig problemlos und ohne jede Polynomdivision im Kopf ausrechnen. Gibt es irgendeinen vernünftigen Grund, warum man das nicht tun sollte?

Comments

Ja, gibt es:
Zunächst soll es Leute geben, die die Techniken lernen sollen und dann soll es Korrektoren geben, die Klugscheissern, die das Ergebnis hinschreiben und dazu keinen nachvollziehbaren Herleitungsweg darstellen, keine Punkte vergeben.

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Hi, das überzeugt mich nicht. Es ist doch hier so, dass dasselbe Argument, was Zugriff auf die erste Nullstelle liefert, auch für alle anderen Nullstellen anwendbar ist. Warum sollte man nach der Bestimmung der ersten Nullstelle ohne Not die einfache und zielführende Methode wechseln?

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Nachtrag:

jb673: Dankeschön für Deine Stellungnahme!

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@jd134
ich verstehe deine Argumentation leider nicht.

Das sagst, die erste Nullstelle kann geraten werden,
alle anderen Nullstellen können auch geraten werden ?

Ohne Polynomdivision. Im Kopf ?
Führ doch einmal vor.
Laß mich an deinen Gedanken teilhaben.

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georgborn:

Ein Polynom 3. Grades hat maximal 3 Nullstellen.

Nun teste alle ganzzahligen Teiler von 6. Das sind ±1 ±2 ±3 ±6

Sobald du drei verschiedene gefunden hast, bei denen der Funktionsterm 0 ist, bist du fertig.

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Leider verstehe ich überhaupt nicht was du meinst.
Erkläre es doch einmal so das der Fragesteller es auch verstehen kann.
Dazu ist das Forum nämlich da.

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Für georgborn: Ich probiere es nochmals:

Schau dir die letzte der "basic formulas"( in der geschweiften Klammer unten ) von Vieta bitte genauer an:

https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas#Basic_formulas

Im Beispiel

x³ - 2·x² - 5·x + 6 

folgt daraus x1*x2*x3 = -6

Was mit x1 = 1, x2 = -2 und x3 = 3 ja erfüllt ist. Vgl. Resultate von Mathcoach.

Daher genügt schon x1 = 1 und x2 = -2 zu raten und dann x3 = -6/(1*(-2)) ausrechnen. Ohne Polynomdivision. Polynomdivision ist natürlich nicht verboten. Aber 1. eine Fehlerquelle und 2. zeitraubend während einer Prüfung.

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Den Satz von Vieta, Cardano, pq-Formel oder Mitternachtsformel
merke ich mir nicht mehr. Ich bin schon 62 Jahre.
Die Lösungswege bei bestimmten Aufgaben liegen.
Andere würden eher verwirren.