"Von einer Maschine werden zwei gleichartige grobkörnige chemische Substanzen gemischt. Die Mischung soll 20% der einen und 80% der anderen Substanz enthalten. Zur Kontrolle der Mischung werden mit einem kleinen Gefäß stichprobenweise Körner entnommen. Ungewöhnliche Abweichungen vom Erwartungswert weise auf eine schlechte Mischung hin."
Tun wir mal so als hättest du Substanz A bzw. weiße Kugeln und Substanz B bzw. schwarze Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit ist dann
P(A) = 0.2 und P(B) = 0.8
a) Gebe eine Entscheidungsregel an für n= 400 (Irrtums-WK max 5%)
n = 400 ; p = 0.2 ; μ = n·p = 400·0.2 = 80 ; σ = √(n·p·(1 - p)) = √(400·0.2·0.8) = 8
Φ(k) = 1 - 0.05/2 --> k = 1.960
[80 - 1.96·8; 80 + 1.96·8] = [64; 96]
Wenn Substanz A mit 64-96 Körner auftritt wäre das ok. Andernfalls könnte es auf eine Abweihung hindeuten
b) In einer Stichprobe findet man 43 Körner der ersten und 115 Körner der zweiten Substanz. Prüfen Sie, ob die Stichprobe auf eine ungenügende Mischung hinweist.
n = 158 ; μ = n·p = 158·0.2 = 31.6 ; σ = √(n·p·(1 - p)) = √(158·0.2·0.8) = 5.028
[31.6 - 1.96·5.028 ; 31.6 + 1.96·5.028] = [22; 41]
43 Körner wären hier außerhalb des Intervalls.
