Grenzwerte mit x->0 berechnen (cos(x)-1)/x² und (x²y)/(x²+y²)

Question

Freunde der Nacht,

bei beiden Grenzwerten kommt 0 heraus oder?

Danke

Answer 1

i. ist -0.5 ; ii.ist 0.

Comments

Danke für die Antwort, aber wie kommst du auf -0.5 ?

Mein Lösungsweg

$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { cos(x)\quad -\quad 1\quad  }{ { x }^{ 2 } }  } \\ L.H.\quad =\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { -sin(x) }{ 2x }  } \\ =\quad \frac { -sin(0) }{ 2\cdot 0 } \quad =\quad 0 $$

Mit L.H. ist L'Hospital gemeint

Mache ich irgendwo einen für mich nicht sichtbaren Fehler?

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Ja, die letzte Gleichheit ist falsch. 0/0 ist undefiniert, sicher nicht 0.

Und auch die vorletzte Gleichheit ist falsch, da der Term rechts der Gleichheit nicht existiert. (Division durch 0)

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Einfach noch mal lhospital anwenden

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Danke für den Tipp Marvin, war grad schon am verzweifeln, wie ich anders rechnen soll. :-D

Danke auch tatmas für den Tipp, hatte bisher nicht immer darauf geachtet mit dem undefiniert, wäre sicher schief gegangen in der Klausur :-P

Wie seid ihr/du bei der ii) vorgegangen? Habe dort nämlich auch durch 0 dividiert. 
Kennt ihr eventuell eine gute Webseite dazu? Im Skript finde ich nichts zu Grenzwerten mit mehreren Variablen...Habe dort mehr oder weniger so "gerechnet", wie ich es auch bei denen mit einer Variable mache.

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Die zweite rechnet man am einfachsten direkt über die Defintion.

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Alles klar. Habe auch doch noch eine Möglichkeit gefunden ohne durch 0 zu dividieren. Danke für eure Mühe und Hilfe.

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Nur Interessehalber: Was ist die Möglichkeit?

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Sorry für die späte Antwort.

$$ \lim _{ x,y\rightarrow (0,0) }{ \frac { { x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  } \\ =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \frac { 1 }{ n }  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  }  } \\ =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } }  }{ \frac { 2 }{ { n }^{ 2 } }  } \quad  } \\ =\quad 0 $$

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Die erste Gleichheit idt im Allgemeinen falsch.

Du betrachtest was für eine Nullfolge passiert, du müsstest aber alle Nullfolgen betrachten.

z.B.gilt für \( f(x,y):=\frac{x^2y}{x^4+y^2} \) und die Folge (1/n,1/n)

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }  \frac { \frac { 1 }{ n ^2 } \frac { 1 }{ n }  }{ \frac { 1 } {  n ^ 4  } +\frac { 1 }{  n ^ 2 }  }   = \infty$$

aber für (1/n,1/n²):

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ { n }^{ 2} } \frac { 1 }{ n^2 }  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 4 } }  }  }= \frac{1}{2} \ $$.

Der Ansatz ist gut um zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert, um zu zeigen, dass der Grenzwert existiert ist er praktisch nutzlos.

Nutze die Defintion,es ist \( |\frac{x^2y}{x^2+y^2}| \leq \frac{x^2y}{x^2} =|y| \)

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Wie folgerst du damit, dass die ii.) gegen 0 konvergiert? Sandwich-Theorem?

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Sandwich-Theorem geht, ich hatte direkt über epsilon-delta im Sinn.