Kurvendiskussion glastropfen

Question

Brauche  Hilfe bei der folgenden Rechnung und möglicherweise jemandem der meine Ergebnisse korregiert.

Für eine Dekoration soll ein Glastropfen gegossen werden. die Form entsteht, wenn der Graph einer Funktion 3. Grades um die positive x- Achse rotiert. 
Die Funktion lautet: f(x)= (-1/100)x³+(15/100)x²
1. Berechne die Nullstellte, Extremwert und Wendepunkt  2. Berechne den Flächeninhalt, also die Fläche die die Kurve mit der positiven x-Achse einschließt 3. Berechne das Volumen 
Meine Lösung:
Nullstelle:
f(x): (-1/100)x³+(15/100)x²=0  /*(-100)
100x³-1500x²=0         x²(100x-1500)=0               
x₁=0                      100x-1500=0 /+1500  100x=1500 /:100        x=15
x₂=15                   
Extremwert:
f'(x): (-3/100)x²+(30/100)x=0 /*(-100) 300x²-3000=0 x(300x-3000)=0 x₁=0
300x-3000=0 300x=3000 x=10                  Tiefpunkt (0/0) Hochpunkt (10/5)
f"(x):(-6/100)x+(30/100)=0 x=5
                         Wendepunkt (5/2,5)

Flächeninhalt  A= ₀/¹⁵((1/100)x³+(15/100)x²)dx= ((1/400)x⁴+(15/300)x³)=295,31..
Leider weiß ich nicht wie man das Volumen berechnet und bräuchte eine genaue Schrittfolge bis zum Ergebnis.

Answer 1

f(x) = 3/20·x^2 - x^3/100

f'(x) = 3/10·x - 3/100·x^2

f''(x) = 3/10 - 3/50·x

1. Berechne die Nullstellte, Extremwert und Wendepunkt  

f(x) = 0 --> x = 15 ∨ x = 0

f'(x) = 0 --> x = 10 ∨ x = 0

f(0) = 0 --> TP(0|0)

f(10) = 5 --> HP(10|5)

f''(x) = 0 --> x = 5

f(5) = 2.5 --> WP(5|2.5)

2. Berechne den Flächeninhalt, also die Fläche die die Kurve mit der positiven x-Achse einschließt 

∫ (0 bis 15) (3·x^2/20 - x^3/100) dx = 42.19

3. Berechne das Volumen 

∫ (0 bis 15) (pi·(3·x^2/20 - x^3/100)^2) dx = 511.2

Comments

ich versteh die Rechnung nicht..

woher stammt (3x²/20 - x³/100)²) dx?

Und wie kommt man auf (x⁶/1000 - 3x⁵/1000+9x⁴/400)dx?

ps: Danke für die schnelle Antwort!

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∫ (3x²/20 - x³/100)²) dx?

Du Integrierst über deine Funktion in den Grenzen von 0 bis 15. Dort steht also deine Funktion. Ich habe mir erlaubt 15/100 zu kürzen und da 3/20 draus zu machen.

(x⁶/1000 - 3x⁵/1000+9x⁴/400)dx?

Dort steht deine Funktion zum Quadrat. Wenn du meinen Ansatz nimmst dann kannst du das sehen. Ich habe es beim Ansatz noch nicht alsmultimliziert. Das überlasse ich gerne dir. Aber jetzt hast du ja schon in der Schullösung nachgesehen.

Answer 2

wenn ein Funktionsgraph im Bereich von a bis b  um die x-Achse rotiert, ist das Volumen des

entstehenden Körpers immer  V = pi * Integral von a bis b über f^2(x) dx.

Hier also   V = pi * Integral von a bis b über  ( 3x^2/20 - x^3/100 ) ^2 dx

=  pi * Integral von a bis b über  ( x^6 / 10000 - 3x^5 / 1000  + 9x^4 / 400 ) dx

= pi * [ x^7 / 70000 - x^6 / 2000 + 9x^5 / 2000 ] in den Grenzen von a bis b

Und a,b sind hier die Nullstellen von f, also 0 bis 15 

Einsetzen gibt nach meiner Rechnung pi * 18225/112 ungefähr 162,7 * pi ungefähr 511.

Das ist das Volumen.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Hat mir sehr geholfen. :)