Wie vereinfache ich lim (sqrt(1-x)-1)/x?

Question

Wie vereinfache ich den lim (sqrt(1-x)-1)/x??

Comments

lim (sqrt(1-x)-1)/x        x gegen was?

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Bitte klammere richtig und beachte auch den Unterschied zwischen den Versionen im Titel und im Test. Wogegen soll denn das x laufen?

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Also ich habe die Funktion

f(x)= ((Wurzel 1-x)-1)/x

Ich soll Definitionslücken bestimmen. Das ist die 0.

Dadurch ist D_f = R ohne die 0

Dann dachte ich, dass ich eine hebbare Definitionslücke habe und wollte den Wert ausrechnen an der Stelle 0. Also x->0.

Und die Rechnung dann x ungleich 0 und dann in diesem Schritt müsste ich doch den Wert dort bestimmen können durch Vereinfachen oder nicht?

Answer 1

Hi

lim_x→-∞ (sqrt(1-x)-1) / x;

Regel von l'Hospital: Man bildet die Ableitung des Nenners und des Zählers

z(x) = (sqrt(1-x)-1);
z'(x)  = (1-x)^{-1/2} * (-1/2);

n(x) = x;
n'(x) = 1;

Damit:

lim_x→-∞ -1 / (2*sqrt(1-x)) = 0;
lim_x→0 -1 / (2*sqrt(1-x)) = -1/2;
 

lg JR

Answer 2

ok. x->0 aber x≠0.

Hier kann man mit der 3. binomischen Formel den Zähler wurzelfrei machen.

(√(1-x) - 1 ) /  x

= (√(1-x) - 1 )*( √(1-x)+1) )/ (x *( √(1-x)+1) ) 

= (1-x -1) / (x *( √(1-x)+1) )

=  -x  / (x *( √(1-x)+1) )         |x kürzen

= -1 / ( √(1-x)+1) )

= -1 / ( √(1-x)+1) )           |x=0 einsetzen (Grenzwert nun ungefährlich)

-------> -1/(1+1) = -1/2

Das hat JR auf (direktere Art) schon rausbekommen.

Beachte: Die Funktion ist für x>1 gar nicht definiert. Grenzwert gegen unendlich daher nicht so sinnvoll.

D_f = ]0,1] , d.h. 0<x≤1.

Kontrolle: Mach mal noch einen Plot mit dem Knopf "Funktion zeichnen" oder mit dem TR.