Etwas mit Summenzeichen. Summe von ungeraden Zahlen und von (-1)^k. Formel? Beweis?

Question

Wie berechne ich diese vollständige Induktion????

Answer 1

Vermutlich kennst du die Formel $$ \sum_{k=1}^{n}{k} =\frac { n * (n+1) }{ 2}$$

Damit kannst du das ausrechnen:

$$ \sum_{k=n}^{2n}{2k-1} =$$
$$ 2\sum_{k=n}^{2n}{k} -\sum_{k=n}^{2n}{1} = $$
$$ 2(\sum_{k=1}^{2n}{k}-\sum_{k=1}^{n-1}{k}) -(n+1) = $$
$$ 2 (\frac { 2n(2n+1)} {2}  - \frac { n(n+1)} {2}) -(n+1) $$
$$  2n(2n+1)- n(n+1) -(n+1)  = 3{ n }^{ 2 } - 1 $$

Answer 2

Rechne es für n = 1,2,3,4,5 mal aus und stelle eine Vermutung auf. Dann begründe due Vermutung durch vollständige Induktion

Vermuntungen

∑ (k = n bis 2·n) (2·k - 1) = 3·n^2 + 2·n - 1

∑ (k = 2·n + 1 bis 4·n) ((-1)^k) = 0

Comments

∑ (k = n bis 2·n) (2·k - 1) = 1+3+5+.................+(4n-1)

wie gehe ich weiter?//

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∑ (k = n bis 2·n) (2·k - 1)

Wir setzen mal für n = 1 ein

∑ (k = 1 bis 2) (2·k - 1) = (2·1 - 1) + (2·2 - 1) = 4

Wie bist du auf deine Werte gekommen?