Zeige das gilt Ungleichung

Question

Mein Lösungsansatz ist wie folgt. Beide Seiten mit e erweitern und mal 2 rechnen

e^ln löst sich auf und es steht da

x + y <= x + y

0 <= 0

Ungleichung stimmt, aber ess soll gezeigt werden, dass x,y > 0

Answer 1

(LN(x) + LN(y))/2 ≤ LN([x + y]/2)

LN(x)/2 + LN(y)/2 ≤ LN(x/2 + y/2)

EXP(LN(x)/2 + LN(y)/2) ≤ EXP(LN(x/2 + y/2))

√x * √y ≤ x/2 + y/2

x·y ≤ (x/2 + y/2)^2

x·y ≤ x^2/4 + x·y/2 + y^2/4

0 ≤ x^2/4 - x·y/2 + y^2/4

0 ≤ x^2 - 2·x·y + y^2

0 ≤ (x - y)^2

Ein Quadrat ist immer größer gleich 0.

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EXP(LN(x)/2 + LN(y)/2) ≤ EXP(LN(x/2 + y/2))

√x * √y ≤ x/2 + y/2
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kannst du mir die Rechnung auf der rechten Seite näher erklären?

Wieso werden die Wurzel x und y multipliziert und nicht addiert?

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erinnerst du dich noch an die Potenzgesetzte

a^{m + n} = a^m * a^n

???

Answer 2

[ ln ( x ) + ln ( y ) ] / 2 ≤ ln ( ( x + y ) / 2 )  | * 2 und ln links zusammenfassen
 ln ( x * y  ) ≤  2 * ln ( ( x + y ) / 2 )  | 2 * in den ln
 ln ( x * y  ) ≤  ln ( [( x + y ) / 2 ]^2 ) | e ^
x * y ≤ ( x +y )^2 / 4  | * 4
4 x y  ≤  x^2 + 2xy + y^2  | - 2xy
2xy ≤ x^2 + y^2
0 ≤ x^2 - 2xy + y^2
0 ≤ ( x - y )^2

Ein quadratischer Ausdruck, hier ( x - y)^2 , ist stets ≥ 0

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EXP(LN(x)/2 + LN(y)/2) ≤ EXP(LN(x/2 + y/2))

√x * √y ≤ x/2 + y/2
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kannst du mir die Rechnung auf der rechten Seite näher erklären?

Wieso werden die Wurzel x und y multipliziert und nicht addiert?