Kern einer Matrix berechnen

Question

Wir sollen folgenden Kern berechnen

Die Klammer ausgerechnet ergibt sich

Es gibt also einen Freiheitsgrad. Ich habe x=0 gesetzt und so als Kern span={0,1,-1} heraus .

Die Musterlösung ergibt jedoch:

Könnt ihr mir sagen wo mein Fehler liegt und warum zwei Vektoren angegeben sind?

Comments

Es gibt also einen Freiheitsgrad.

Warum?

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Oh, ich habe (m)einen Fehler gefunden. Nach Anwendung von Gauß bleibt eine Gleichung:
x+y+z=0 -> x+y=-z für z=-1 -> x=1-y für x=1 -y=0.
Damit wäre die Lösung span={1,0,-1}

Kann man das so rechnen oder bin ich auf dem Holzweg?

Answer 1

Da die erste und die dritte Zeile linear abhängig sind, gibt es zwei Freiheitsgrade.

(Die Zeilenvektoren sind im Folgenden als Spalten zu denken:

W * (x/y/z)  = 0  ergibt die Lösung  x+y+z=0, also eine Ebene mit dem Normalenvektor (1/1/1)

Zwei orthogonale Basisvektoren sind also z.B. (1/0/-1) und (1/-1/0)

Die Musterlösung hat recht!

Comments

Müssen also zwei Vektoren angegeben werden oder reicht es einen Vektor anzugeben?

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Der Lösungsraum ist ZWEIdimensional, also wird er von zwei Lösungsvektoren "aufgespannt"