Umstellung beim Induktionsschritt

Question

Ich komme einfach nicht dahinter wie man von 1-1/2^n+1/2^{n+1} nach 1-1/2^{n+1} kommt.

Siehe im Induktionsschritt die drittletzte Gleichung.

Ich wäre sehr dankbar für eine hilfreiche Antwort.

Comments

"Ich komme einfach nicht dahinter wie man von 1-1/2ⁿ+1/2ⁿ⁺¹ nach 1-1/2ⁿ⁺¹ kommt."

Elementare Bruchrechnung. Wird in der Musterloesung sogar vorexerziert.

Answer 1

Kommentar von ia2288 geht fast nicht ausführlicher.

Brüche brauchen den gleichen Nenner, wenn man sie addieren / subtrahieren möchte. Daher:

 1-1/2ⁿ+1/2ⁿ⁺¹

=  1-2/(2*2ⁿ)+1/2ⁿ⁺¹       | Potenzgesetz

=  1-2/2ⁿ⁺¹+1/2ⁿ⁺¹    | Bruchaddition

=  1+(1-2)/2ⁿ⁺¹

=  1- 1/2ⁿ⁺¹

Comments

Jetzt so im nachhinein ist es mir doch recht peinlich diese Frage gestellt zu haben. Ich bin ja nicht komplett dumm aber du Uhrzeit hat mir wahrscheinlich diese Denkblockade verschafft. Aber danke für deinen rationalen, objektiven Kommentar. So gehört es sich.

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Bitte. Gern geschehen.

Answer 2

Ich wehre mich vehement dagegen, die Welt komplizierter zu machen, wie sie ist. Gäbe es diese Aufgabe nicht, würdest du sofort erkennen, dass es sich um die geometrische Reihe handelt mit Anfangsglied a0 = 1/2 und Quotient q = 1/2 .

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Ach bring ich's doch.  Im Internet gibt es ein Matheportal mit Witzen über Mathematik. Nur zwei Witze sind wirklich erwähnenswert; der erste: Die e-Funktion sei konstant. Aber wirklich zum Wiehern finde ich das sehr tiefsinnige alfonsinische Teorem, welches da besagt: Alle natürlichen Zahlen sind gleich.
   Beweis dieses wahrhaft erleuchteten Satzes durch das Lemma von ih1800.


   Sei n0 € |N .  Wenn dann



          i0  <  =  n0     (  1a  )


         j0  <  =  n0     (  1b  )



      so folgt aus ( 1ab )  i0 = j0  Und aus dem Lemma natürlich das alfonsinische Teorem.
      Du ahnst es sicher schon; da du dich so fleißig um Induktion bemühst, werden wir das Lemma induktiv beweisen.


     INDUKTIONSANFANG    ;  n0  =  1   ( trivial )


         INDUKTIONSANNAHME       siehe ( 1ab )


         INDUKTIONSSCHRITT 


      Sei also
     


          i0  <  =  n0  +  1  |  -  1     (  2a  )


         j0  <  =  n0  +  1  |  -  1     (  2b  )



     Ich setze noch



          i1  :=  i0  -  1  ;  j1  :=  j0  -  1    (  3  )



     Den Umformungsschritt in ( 2ab ) habe ich wie üblich vermerkt.



        i1  <  =  n0     (  4a  )

        j1  <  =  n0      (  4b  )



    Im Falle   ( 4ab ) ist aber die Induktionsvoraussetzung  ( 1ab ) anwendbar  :




      i1  =  j1   |  +  1     (  5a  )


      i0  =  j0     (  5b  )   ;   wzbw