Begründung: Warum lässt sich das Produkt aller Teiler von n als Potenz von n darstellen?

Question

n ist ∈ℕ. Nun suche ich die Begründung dafür, dass prod(n) als Potenz von  n darstellbar ist.

Zum Beispiel lässt sich ja prod(32) = 1*2*4*8*16*32 = 32768 mit 32³= 32768 darstellen

Ebenso kann ich prod(36) = 1*2*3*4*6*9*12*18*36  mit 36^4.5 darstellen.

Nach einem Satz ist jede Zahl n ∈ℕ genau dann eine Quadratzahl, wenn die Anzahl aller positiven Teiler von n ungerade ist.

Aber die Anzahl der pos. Teiler von 32 ist mit 6 ja gerade. Okay 32³ ist keine Quadratzahl... aber dennoch soll dieser Satz bei der Begrüdnung weiterhelfen... Ich stehe leider total auf dem Schlauch. Wenn mir jemand eine gute Begründung liefern könnte, wäre ich sehr dankbar! Habe bald meine mündl. Prüfung in Mathe.

!!

Answer 1

Jeder Teiler einer Zahl hat einen Gegenteiler mit

Teiler * Gegenteiler = Zahl

Die Anzahl der (Teiler/Gegenteiler)-paare dividiert durch zwei [#] ergibt dann den Exponenten

Beispiel: T(10) = {1,2,5,10}

(1*10) *( 2*5 ) = 10^2

# Division durch zwei, weil man die Paare auch umgekehrt aufzählen könnte!

Allerdings kann der Gegenteiler auch der Teiler selbst sein, müsste also zweimal aufgeführt werden.

Die Aussage ist also nicht korrekt.

Comments

Danke für deine Hilfe. Reicht das als Begründung aus? Weil ich stelle ja eine Zahl als Produkt ihrer Teiler dar. Warum ist dann die Zahl hoch einem Exponenten grade das gleiche Ergebnis, wie das Produkt der Teiler? Das ist mir noch nicht ganz klar...

Answer 2

Probiere es mal mit den Teilern von 9

1*3*9 = 27 = 9^x    ?

Comments

Der Exponent wäre ja nach der Rechnung 3: 2= 1,5 und9^1,5= 27. Aber warum ist das immer so??? :( das verstehe ich noch nicht...

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wenn du die Teiler von n alle nach der Größe geordnet aufschreibst, ist

immer der 1. mal den letzten genau das n,

der 2. mal den vorletzen genauso etc.

Das kann man über die Primfaktorzerlegung begründen.

Also hat man entweder am Schluss n^k wobei k genua die

Hälfte der Anzahl der Teiler ist, wenn diese gerade ist.

Bei ungerader Teileranzahl ( wie bei 9) hat man dann sowas

wie n ^(k+0,5), wobei eben k+0,5 die halbe Teileranzahl ist, weil der

mittlere Teiler dann ja immer genau die wurzel aus n ist.

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Vielen lieben Dank!!!!!! Hat mir sehr geholfen :)