Differentialgleichung 1. Ordnung durch Substitution y'=(2x+3y)/x

Question

y'=(2x+3y)/x 

diese Aufgabe soll ich lösen.

Rechenweg:

u=y/x -> y=u*x -> y'=u+u'x

y'            =  2+3y/x

u+u'x     =  2+3u              / -u ; /x

du/dx    =  2+2u*1/x

du/2+2u= 1/x *dx

ln(2u+2)= ln(x) + ln(c)

2u+2    = xc

ab hier weiß ich nicht weiter. ich denke aber mein Fehler liegt schon in diesen Schritten.
Wolfram Alpha gibt als lösung :

y=cx^{3}-x

ob das richtig ist und woher die 3. potenz kommt ist mir ein Rätsel

Danke

Comments

du/2+2u= 1/x *dx

ln(2u+2)= ln(x) + ln(c)

Das Integral von 1/(2+2u) ist 1/2 ln(x+1)

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Ich habe nun in meinen Integraltafeln geschaut, dort steht

integral von 1/(2+2u) *du = 1/2 ln(2+2u)

also nicht ganz deine Lösung, was ist nun richtig?

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Tipp: Substituiere \(u=\dfrac yx+1\).

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Es geht auch mit u= y/x, wie hier getan wurde.

Die Aufgabe ist schon durchgerechnet und das Ergebnis  stimmt.

Answer 1

Du hast das Integral

du/(2 +2u)

falsch berechnet. Zur Kontrolle kannst Du ja Deine Lösung ableiten.

Comments

Die Lösung für das Integral ist also:  1/2 ln(2+2u)

nach weiterer Rechnung und Rücksubsitution komme ich auf ein ergebnis von

y=x²c-x

da fehlt mir eine Potenz.

also nach dem Endlogarithmisieren habe ich zunächst:

1/2 * 2+2u= xc  ->  1+y/x =xc

y/x=xc-1

y=x²c-x

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1/2 ln|u+1|=ln|x| +ln|c|

sqrt(u+1)= C*x |(..)^2

u+1= C^2 *x^2

K=c^2

u+1 =K *x^2

u  =K *x^2 -1

y/x=K *x^2 -1

y=K*x^3 -x

Und diese Lösung stimmt.

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Woher nimmst du denn die Wurzel?

bzw. woher kommt diese, das du quadrieren kannst?

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1/2 ln|u+1| = ln|u+1|^{1/2}

das sind Log. gesetze .

dann beide Seiten e- hoch nehmen.