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Intervall [0;2]

Funktion: f(x)=-x^2+4

U_(4) = 2/n (f(0)+f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n)

weiter komme ich nicht, da ich den Flächeninhalt nur mit der Funktion y=x^2 herausbekommen habe...

Aber wir sollen es so machen wie auf dieser PDF Seite

http://www.mathe-schule.de/download/pdf/Mathematik/Flaeche_x_hoch_2_a_b_L.pdf

Könnte mir Jemand die nächsten zwei Schritte machen, denn ich denke, den Rest kriege ich hin :)
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2 Antworten

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Wenn ich das richtig lese, sollst du die Untersumme U4 also für n=4 bestimmen:

U4 = 2/4 * [ 4 - (2/4)2 +4 - (4/4)2 + 4 - (6/4)2 + 4 ] = 6,25

Avatar von 86 k 🚀

oh nein ich meinte da soll Un stehen :/

keine Antwort? :(

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Für die Untersumme Nr. n musst du f einsetzen.
f(x)=-x2+4 = 4 -x^2
Un=2/n (f(0)+f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n)

nächster Schritt: 

Un=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)^2) +(4 -2*(2/n)^2) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)^2 ) )

und nun vereinfachen:

Un=(2/n )( 4n +(-(2/n)^2 -2*(2/n)^2) -.... - (2(n-1)/n)^2 ) ))

Un=(2/n )( 4n  -(2/n)^2 (1 + 2^2 + ..... (n-1)^2 ) 

Rechne mal nach. 

Du solltest dann eine Formel für die Summe der ersten n-1 Quadratzahlen finden/kennen. 

usw. 

Avatar von 7,6 k

VIELEN DANK *_*

Doch was hast du jetzt genau gemacht zwischen

Un=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)2) +(4 -2*(2/n)2) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)2 ) )

und

Un=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)2) +(4 -2*(2/n)2) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)2 ) )

also was hast du vereinfacht bzw. zusammengefasst :D

warum 4n ?? es ist doch eher 16?

ich denke so ist es eher richtig;

Un=(2/n )( 16  -(2/n) (1 + 22 + ..... (n-1)2 )  hier 

Bei Un willst du n Summanden haben und nicht bloss 4. Zumindest gemäss deinem Kommentar zur andern Antwort.

Da kommt n mal die Vier vor. Daher 4*n und nicht nur 4*4.

Zudem musst du alle x^2 noch zusammen addieren.

und x ist der Reihe nach

0= 0*2/n, 2/n= 1*2/n, 2*2/n, 3*2/n usw. bis (n-1)*2/n

Jetzt jeden einzelnen dieser Werte Quadrieren.

dachte ich zumindest.

Beachte aber die Form von 4 -x^2.

Die Kurve ist im Intervall [0,2] monoton fallend. Daher ist jeweils links in den Streifen der höchste Funktionswert und rechts der kleinste. Meine Rechnung bezog sich als auf On

Für Un rechnest du besser mit den rechten Intervallgrenzen.

Also

  f(x)=-x2+4 = 4 -x2  
  Un=2/n (f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n) + f(2))

nächster Schritt: 

Un=(2/n )((4 -(2/n)2) +(4 -2*(2/n)2) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)2 ) + (4 - (2n/n)^2)

und nun vereinfachen:

Un=(2/n )( 4n +(-(2/n)2 -2*(2/n)2 -.... - (2(n-1)/n)2 ) - (2n/n^2 ))

Un=(2/n )( 4n  -(2/n)2 (1 + 22 + ..... (n-1)2 + n^2)  

Du wirst die Summenformel der ersten n Quadratzahlen benötigen.

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