Schnittpunkte der Graphen f(x) = x^3 - 0.5·x^2 und g(x) = x - 0.5?

Question

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g?

a) F(x) = x hoch 3 - 0,5 x hoch 2

g(x) = x - 0,5

wie funktioniert die Aufgabe ? Bitte mit Rechenweg.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

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f ( x ) = x^3 - 0.5 x^2   
g ( x ) = x - 0.5

Schnittpunkt
f ( x ) = g ( x )

x^3 - 0.5 x^2   = x - 0.5
x^3 - 0.5 * x^2 - x = -0.5

Das erste x erraten oder ausprobieren. x = 1
Dann Polynomdivision

x^3 - 0.5 * x^2 - x + 0.5 : x -1 = x^2 + 0.5 x - 0.5

x^2 + 0.5 x - 0.5 = 0
Mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung lösen

x = -1
x = 0.5

Schnittpunkte
( 1  | f ( 1 ) )
( -1 | f ( -1 ) )
( 0.5  | f ( 0.5 ) )

Answer 1

f(x) = g(x)

x^3 - 0.5·x^2 = x - 0.5

x^3 - 0.5·x^2 - x + 0.5 = 0

Eine Nullstelle findet man über einsetzen bei x = 1. Polynomdivision oder Horner Schema ergibt

(x^3 - 0.5·x^2 - x + 0.5) : (x - 1) = x^2 + 0.5·x - 0.5

x^2 + 0.5·x - 0.5 = 0

pq-Formel ergibt die Lösungen

x = 0.5 ∨ x = -1

Damit haben wir Nullstellen bei

x = 0.5 ∨ x = -1 ∨ x = 1

Comments

Danke für die Lösung!

Ich hab das jetzt so gerechnet nur mit der Mitternachtsformel und ich komme nicht auf das Ergebnis. Bei mir kommen lange Kommastellen raus..

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Schwer zu sagen warum. Vielleicht kannst du mal einstellen, was du gerechnet hast.

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Die Mitternachtsformel kannst du nur für quadratische Gleichungen anwenden und nicht für kubische wo ein x^3 vorkommt.

Vermutlich liegt dort dein Fehler.

Du solltest hier also wenigstens die Polynomdivision oder das horner Schema anwenden!

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So hab ich das mit der Mitternachtsformel gerechnet

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Meine Rechnung

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Du hast vergessen aus 2.25 die Wurzel zu ziehen.

Answer 2

Gleichsetzen:

x^3 - 0,5x^2 = x - 0,5  | auf eine Seite bringen

x^3 - 0,5x^2 - x + 0,5 = 0

Ein Polynom dritten Grades lässt sich nicht ohne weiteres rechnerisch lösen. Du Ausprobieren von Zahlen wie 0, -1, 1, -2 oder 2 kriegt man schnell raus dass 1 funktioniert. Damit kann man eine Polynomdivision machen:

(x^3 - 0,5x^2 - x + 0,5) : (x-1) = x^2+0,5x-0,5

(x^3 - x^2)

0,5x^2-x

0,5x^2-0,5x

-0,5x+0,5

-0,5x+0,5

0

Mit der so gewonnenen quadratischen Gleichung können wie die PQ Formel verwenden um weitere Nullstellen herauszufinden:

x_2/3=-1/4±√(1/16+0,5)= -0,25±0,75

x₂ = -1

x₃ = 0,5

Also haben wir drei Schnittpunkte: -1/0,5/1

~plot~x^3-0,5x^2;x-0,5~plot~