Bestimmen Sie eine koordinatengleichung anhand der Spurpunkte S1 (2/0/0); S2 (0/5/0); S3 (0/0/3)

Question

Ein Schaubild zeigt die Schnittpunkte einer Ebene mit x1=2, x2=5 und x3=3
Wie komme ich dadurch auf meine koordinatengleichung? 

Comments

Du kannst diese 3 Punkte in den Geoknecht 3D eingeben und rechts wird dir die Koordinatenform angezeigt. So ist es leicht, Ergebnisse zu kontrollieren.

Oder in das Programm Ebenengleichungen berechnen, dort kannst du drei Punkte, Koordinatenform, Parameterform, Normalenform und Spurpunkte eingeben bzw. berechnen lassen. Zukünftig werden dort auch die exakten Rechenwege erscheinen (unten auf der Seite).

Answer 1

Du kannst zwei Richtungsvektoren ausrechnen, deren Kreuzprodukt bilden , ergibt Normalenvektor n.

n₁ * x₁ + n₂* x₂ + n₃ * x₃ = n * a [a = Stützvektor]

ergibt die Koordinatengleichung

Comments

Ich habs auch übers kreuzprodukt und die normalengleichung gelöst, danke :)

Answer 2

Lu hatte schon eine richtige Parametergleichung angegeben.

X = [2, 0, 0] + r·[-2, 5, 0] + s·[-2, 0, 3]

Nimm nun das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren als Normalenvektor

N = [-2, 5, 0] ⨯ [-2, 0, 3] = [15, 6, 10]

Nun bilden wir die Koordinatenform

X·[15, 6, 10] = [2, 0, 0]·[15, 6, 10]

15·x + 6·y + 10·z = 30

Answer 3

Das sind die Achsendurchstosspunkte der Ebene.

Spuren von Ebenen sind in der Regel Geraden.

Du suchst z.B.

E : r = (2,0,0) + t ( -2,5,0) + s (-2,0,3) 

Gehe so vor, wie immer, wenn du 3 Punkte einer Ebene kennst.

EDIT: Sorry, das ist eine Parameterform der Ebenengleichung. Antwort von -wolfgang- ist schneller. Tipp oben gilt natürlich immer noch. 

Comments

Danke :)

Ja, jetzt wo du es sagst :)

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Mathecoach hat natürlich recht.

x1=2, x2=5 und x3=3 

x = 2, y = 5, z=3 

Betrachte den resultierenden Normalenvektor noch etwas genauer:

Ansatz

Wegen: x = 2, y = 5, 

 ( 5, 2, a) 

Wegen x = 2, z=3 

( 3, b, 2)

Wegen y = 5, z=3 

(c, 3, 5)

Nun nimmst du das kgV

(15, 6, 10) 

und vergleichst mit dem Resultat von Mathecoach. 

Wie kommst du nun aus 

x = 2, y = 5, z=3 

direkt auf 30?