Binomialverteilung und Erwartungswert

Question

Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Wir ziehen fünf Mal mit Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse

1) Fünf schwarze Kugeln

2)Genau vier schwarze Kugeln

3)Mindestens eine schwarze Kugel

4) Höchstens eine weiße Kugel

(b) Nun werden Regeln für ein Spiel vereinbart: Bei fünf schwarzen Kugeln erhält man X_1= 87euro, bei fünf weißen Kugeln erhält man X_2= 12 euro, bei allen anderen Ergebnissen muss man einen zunächst unbekannten Betrag X_3 zahlen. Berechnen Sie X_3 unter der Voraussetzung, dass der Erwartungswert µ =E(X) = 0 ist!!

A: 1)1,024%

2)7,68%

3)92,224%

4)8,704%

(b) x_3=  -33/10

Comments

Habe ich richtig oder falsch gemacht???

Answer 1

Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Wir ziehen fünf Mal mit Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse

WWWSS

1) Fünf schwarze Kugeln

(2/5)^5

2)Genau vier schwarze Kugeln

5 * (2/5)^4 * (3/5)^1

3)Mindestens eine schwarze Kugel

Nicht keine schwarze Kugel

1 - (2/5)^5

4) Höchstens eine weiße Kugel

(2/5)^5 + 5 * (2/5)^4 * (3/5)^1

(b) Nun werden Regeln für ein Spiel vereinbart: Bei fünf schwarzen Kugeln erhält man X_1= 87euro, bei fünf weißen Kugeln erhält man X_2= 12 euro, bei allen anderen Ergebnissen muss man einen zunächst unbekannten Betrag X_3 zahlen. Berechnen Sie X_3 unter der Voraussetzung, dass der Erwartungswert µ =E(X) = 0 ist!!

87 * (2/5)^5 + 12 * (3/5)^5 + x * (1 - (2/5)^5 - (3/5)^5) = 0 --> x = -2

Answer 2

wenn du mit den Antworten vom Mathecoach vergleichst, sieht du

A: 1)1,024%  ok

2)7,68%     ok

3)92,224% Hier hat sich der Mathecoach vertan, deins ist

richtig, denn "niemals schwarz, ist ja hier immer weiss

also 0,6^5 = 0,07776 und damit das Gegenereignis

92,22%

4)8,704%           ok

(b) x_3=  -33/10  falsch ( s. Mathecoach)

Comments

Vielen DANK euch beiden für die Hilfe.

Bei (b) es gibt  fünf schwarzen Kugeln und fünf weißen Kugeln. Wo benutzt man dieser Hinweis?

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Bei (b) es gibt  fünf schwarzen Kugeln und fünf weißen Kugeln. Wo benutzt man dieser Hinweis?

Ich verstehe das eher so:

Bei fünf schwarzen Kugeln (das heisst: wenn fünf schwarze gezogen werden, dann..) erhält man X_1= 87euro, bei fünf weißen Kugeln  (das heisst: wenn fünf weisse gezogen werden, dann..) erhält man X_2= 12 euro,

Answer 3

Die Grundlagen für all diese Rechnungen sind folgende:

Man man hat ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen [Bernoulli-Experiment].

[Hier:  "gezogene Kugel ist schwarz" bzw. "gezogene Kugel ist weiß"]

Die Wahrscheinlichkeiten sind p = 2/5 für Ergebnis "S" und 1-p = 3/5 für Ergebnis "W" 

Dieses wird n = 5 mal wiederholt. [Bernoulli-Kette der Länge 5]

X sei die Anzahl, wie oft Ergebnis "S" dabei genau vorkommt, dann gilt

P(X=k) = (n über k) * pⁿ * (1-p)^n-k

Weiter:

P(X≥1) = 1 - P(x=0)    [X mindestens gleich 1]

P(x≤k) = = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)   [X höchstens gleich  k]