Differentialgleichungen 1.Ordnung

Question

Kann mir jemand in Schritten dieses Bsp. lösen:

x(y` -x*y² )=y² 

nach y auflösen ?

Answer 1

die Aufgabe kannst du durch Trennung der Variablen lösen.

$$ \begin{aligned} xy'-x^2y^2 &= y^2\\ \frac{y'}{y^2} &= x + \frac{1}{x} \\ \int \frac{1}{y^2}dy &= \int x+\frac{1}{x} dx \\ -\frac{1}{y} &= \frac{1}{2}x^2+\log|x| + c\\  y(x)&= -\frac{2}{x^2+2\log|x| + 2c}\end{aligned}$$

Gruß

Comments

super vielen dank, aber wie kommst du auf die x+1/x  ?
ich komme immer nur auf 1/x² +1

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Ein Zwischenschritt wäre ja:

$$ xy' = (1+x^2)y^2 $$

und \( \frac{1+x^2}{x} = \frac{1}{x} + x \)

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hab gerade nur die Angabe falsch abgeschrieben.

Answer 2

Vielleicht ein kleiner Hinweis bezüglich "Hilfe zur Selbsthilfe".

Es gibt Wolframalpha. Die Webseite kann solche Aufgaben prima lösen. Dann hat man für eigene Rechnungen einen Vergleich ob seine Lösung stimmt.

Das geht so: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x(y%27-xy%5E2)%3Dy%5E2

Wenn man Wolframalpha für das Smartphone nutzt hat man sogar die Möglichkeit sich Schritt für Schritt Lösungen anzeigen zu lassen.

Das sieht dann etwa wie folgt aus:

Comments

Ist das nicht die kostenpflichtig Version? Wenn ja wäre dein Beitrag Fremdwerbung und würde in die Kategorie Spam fallen (laut Schreibregeln).

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Die Webseite kann jeder gratis nutzen. Dort bekommt man allerdings nur als Premiumnutzer eine Schritt für Schritt Lösung. Da diese Lösung mit monatlichen Kosten verbunden ist empfehle ich sie nicht. Trotzdem ist die Webseite hilfreich, wenn einem erstmal nur eine Lösung zur Kontrolle langt

Die Wolframalpha App für das Smartphone kostet einmalig 3.26 Euro. Öfter auch bei Amazon gratis. Die App zeigt eine Schritt für Schritt Lösung an.

Damit empfehle ich ganz klar die Mobile App. Entweder für 3.26 Euro im Play Store oder wenn es mal wieder im Amazon Store gratis erhältlich ist.

Mir liegt wie den meisten hier das Lernen und Verstehen der Schüler sehr am Herzen. Darum empfehle ich auch Wolframalpha zur Selbsthilfe, wenn es um einfache Aufgaben geht. Wenn Schüler/Studenten sich bei solchen Aufgaben einfach selber helfen könnten wäre ja schon viel getan und das Forum hier würde etwas mehr entlastet werden.