ich bin Mathestudent und verzweifele gerade an dieser Aufgabe von letztem Semester. Wir hatten gerade Koordinatenvektoren und Darstellungsmatrizen durchgenommen:
$$ R_{\le1}[x]=\{p(x)=a+bx~|~a,b\in R \} \text{, Polynome. Sei } $$
$$ d:R_{\le1}[x]\rightarrow R_{\le1}[x],~ d(p(x)):=\frac{dp}{dx}(x)~und~E=\{ 1,x\} $$
Aufgabe 1:
$$ \text{Bestimmen Sie eine Koordinatenabbildung } k_B:R_{\le1}[x]\rightarrow R^2 $$
$$ \text{bezüglich der Basis } B=\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \text{, so dass } d_B(E)=B $$
Aufgabe 2:
$$ \text{Berechnen Sie die darstellende Matrix } d_B \text{von } b \text{ bezüglich } B. $$
Ich würde jetzt einfach für Aufgabe 1 die Koordinatenvektroren von E={1,x} berechnen:
$$ d(1)=0\cdot 1+0\cdot x \Rightarrow K_{E1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ d(x)=1\cdot 1+0\cdot x \Rightarrow K_{E1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Jedoch verwirrt mich im Moment die Basis B, die noch eingeführt wurde. Diese ist ja die Standardbasis des R2 und meine Koordinatenvektoren sind auch aus dem R2. Ist es daher so einfach? Außerdem steht in der Aufgabe definitiv, dass ich EINE KoordinatenABBILDUNG bestimmen soll.
Handelt es sich vielleicht dann doch eher um eine Transfermatrix beim Basiswechsel, da man ja E und B als zwei unterschiedliche Basen hat?
Zu Aufgabe 2:
Die Darstellungsmatrix von d bezüglich E wäre ja einfach nur die Matrix mit meinen Koordinatenvektoren als Spalten, jedoch bin ich mir wieder nicht sicher, ob das immer noch bezüglich B richtig wäre. In allen anderen Aufgaben gab es nie noch diesen Zusatz mit der Basis B....
