Koordinatenabbildung Polynome

Question

ich bin Mathestudent und verzweifele gerade an dieser Aufgabe von letztem Semester. Wir hatten gerade Koordinatenvektoren und Darstellungsmatrizen durchgenommen:

$$ R_{\le1}[x]=\{p(x)=a+bx~|~a,b\in R \} \text{, Polynome. Sei } $$

$$ d:R_{\le1}[x]\rightarrow R_{\le1}[x],~ d(p(x)):=\frac{dp}{dx}(x)~und~E=\{ 1,x\} $$

Aufgabe 1:

$$ \text{Bestimmen Sie eine Koordinatenabbildung } k_B:R_{\le1}[x]\rightarrow R^2 $$

$$ \text{bezüglich der Basis } B=\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \text{, so dass } d_B(E)=B $$

Aufgabe 2:

$$ \text{Berechnen Sie die darstellende Matrix } d_B \text{von } b \text{ bezüglich } B. $$

Ich würde jetzt einfach für Aufgabe 1 die Koordinatenvektroren von E={1,x} berechnen:

$$ d(1)=0\cdot 1+0\cdot x \Rightarrow K_{E1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0  \end{pmatrix} $$

$$ d(x)=1\cdot 1+0\cdot x \Rightarrow K_{E1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix} $$

Jedoch verwirrt mich im Moment die Basis B, die noch eingeführt wurde. Diese ist ja die Standardbasis des R² und meine Koordinatenvektoren sind auch aus dem R². Ist es daher so einfach? Außerdem steht in der Aufgabe definitiv, dass ich EINE KoordinatenABBILDUNG bestimmen soll.

Handelt es sich vielleicht dann doch eher um eine Transfermatrix beim Basiswechsel, da man ja E und B als zwei unterschiedliche Basen hat?

Zu Aufgabe 2:

Die Darstellungsmatrix von d bezüglich E wäre ja einfach nur die Matrix mit meinen Koordinatenvektoren als Spalten, jedoch bin ich mir wieder nicht sicher, ob das immer noch bezüglich B richtig wäre. In allen anderen Aufgaben gab es nie noch diesen Zusatz mit der Basis B....

Comments

Hast du mal versucht, deinen Text durchzulesen?

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Was meinst du damit?

Answer 1

a) also soll man jedem Polynom vom Grad kleiner gleich 1 ein Koordinatenpaar

zuordnen.   Aber wenn das Bild von E unter d bezüglich der gegebenen Basis wieder

B sein soll, sehe ich da ein Problem:

d ( p) ist ja immer die Ableitung des Polynoms.

Also d (x) = 1 , also das konstante Polynom vom Wert 1

und d ( 1) = 0  also das Nullpolynom.

Die sind aber linear abhängig und können also als Bild nicht B haben.

Sicher, dass in der Aufgabenstellung kein Tippfehler ist ??

Comments

Ich bin mir sicher, dass die Aufgabenstellung so wie sie da steht schon gemeint war.

Das einzige, was ich mir bis jetzt zusammenreimen konnte ist, dass es sich wahrscheinlich um die triviale Antwort handelt:

$$K_B: R_{\le 1} \rightarrow R^2 $$

Heißt ja, dass k_B die Abbildung von allen Polynomen vom Grad kleiner gleich 1 ist (also allgemein a+bx) auf die der zweidimensionalen Vektoren.

Die Koordinatenabbildung geht von der Basis E={1,x} nach

$$ B=\{ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \}$$

Somit müsste nach meinem Verständnis einfach die Gleichung für die Abbildung gelten:

$$ a+bx\longrightarrow \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} $$

Somit wäre dann auch erfüllt:

$$ k_B(E)=B $$

Weil ja so die Basisvektoren von E direkt auf die Basisvektoren von B projiziert werde...

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Soweit macht das ja Sinn, aber was ist mit d  ?

Das ist doch die Abb. , die x das 1 und 1 das Nullpolynom zuordnet oder?