Was bedeutet f: [a;b] -> [a;b]?

Question

Kurze Verständnisfrage nur...

Heißt es die Funktion f bildet von a auf a ab und b auf b? Oder kann auch a auf b und b auf a?

Answer 1

Die Funktion hat die Definitionsmenge [a;b] und die Zielmenge [a;b]  (Intervalle!)

Ersteres bedeutet, dass x-Werte aus diesem Intervall eingesetzt werden.

Letzteres bedeutet, dass die Funktionswerte in diesem Intervall liegen.

Answer 2

Nein, das bedeutet, dass jedem Wert des Intervalls [a,b] ein Wert zugewiesen wird, der wieder im Intervall [a,b] liegt. Wie die Funktion aussieht, ist damit noch nicht gesagt.

Also ist deine zweite Vermutung richtig.

Beispiel:

$$f(x):= b+(a-x)$$

Hier ist f(b) = a und f(a) = b.

Comments

Die Funktion könnte übrigens auch so aussehen:

$$ f:[a,b]\rightarrow [a,b],\quad x\mapsto a$$.

Das heißt, es muss nicht jeder Funktionswert des Zielbereiches angenommen werden, die letzte Funktion ist z.B. konstant (\(f(x) = a \text{ für alle } x \in [a,b]\)).

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Okay danke,

dachte ich mir schon, wollte nur nochmal sicher gehen...

Nehmen wir jetzt an, ich möchte einen Fixpunkt zeigen, erstmal setze ich die Hilfsfunktion h(x) = f(x) - x...

wieso kann ich dann ohne Bedenken einfach annehmen, dass f(a) - a >= 0 ist und f(b) - b <=  0? Wieso kann f(b) - b denn nicht >= 0 sein?

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Weil \(f(b)\in[a,b]\) ist (denn die Funktionswerte liegen alle in dem Intervall), das heißt \(a\le f(b) \le b\). Und wenn du in der letzten Ungleichung b subtrahierst, erhältst du \(f(b)-b\le 0\).

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Super! Danke, ich habs verstanden!