Extremwertproblem Milchtüten Sachaufgabe

Question

Aufgabe:

1-Liter-Milchtüten haben zum Teil die Form einer quadratischen Säule. Diese Tüten sind aus einem einzigen rechteckigen Stück Pappe durch Falten und Verkleben hergestellt (siehe Foto). Die Tüten werden bis 2cm unter dem oberen Rand gefüllt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der verwendeten Pappe als Funktion der Grundkantenlänge x. Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs optimiert? Begründen Sie.

Kann mir jemand sagen wie man diese Aufgabe lösen kann? Ich finde aus den gegebenen Informationen keinen vernünftigen Lösungsansatz..

Comments

Gleichung für Fläche und Gleichung für Volumen aufstellen

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Aber wie groß ist denn die Höhe der Tüte? Muss man dafür einfach eine neue Variable nehmen?

Answer 1

Folgende Werte kannst du ablesen: (alles in cm)

Breite: 4x +0.5

Höhe: x+h +2

A(x,h)= (4x +0.5) * ( x+h +2)

Volumen:

1000 =x^2 (h-2) -<nach h umstellen in  die Gleichung von A einsetzen.

A' (x)= usw.

Comments

Wie genau kann man das denn nach h umstellen?

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Das kann man sehr genau machen.

Answer 2

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der verwendeten Pappe als
Funktion der Grundkantenlänge x. Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des
Materialverbrauchs optimiert? Begründen Sie.

Die andere Antwort ergab bereits

A ( x ,h ) = (4x +0.5) * ( x+h +2)

Volumen:

1000 =x² (h-2) -<nach h umstellen in  die Gleichung von A einsetzen.

1000 / x^2 = h - 2
h = 1000 / x^2 + 2

A ( x ,h ) = (4x +0.5) * ( x+h +2)
A ( x ) = (4x +0.5) * ( x+( 1000 / x^2 + 2) +2)
A ( x ) = (4x +0.5) * ( x+ 1000 / x^2 + 4 )

Damit ist die Frage  " Bestimmen Sie den Flächeninhalt der verwendeten
Pappe als  Funktion der Grundkantenlänge x." bereits beantwortet.

Geringster Materialverbrauch : 1.Ableitung bilden und den
Extremwert ( Minimum ) berechnen.

Produktregel
A ´( x ) = 4 * ( x + 1000 / x^2 + 4 ) + ( 4x + 0.5 ) * ( 1 - 1000 / x^3 )
A ´( x ) = 4x + 4000 / x^2 + 16 + 4x - 4x * 1000 / x^3 + 0.5 - 500 / x^3
A ´( x ) = 8x + 16.5 + 4000 / x^2 - 4000 / x^2 - 500 / x^3
A ´( x ) = 8x + 16.5 - 500 / x^3
Extremwerte
8x + 16.5 - 500 / x^3 = 0

x = 7.3 cm

Dies Ergebnis ließe sich aber nur durch z.B. das Newton Verfahren
ermitteln.

Ich schaue mir die ganze Aufgabe noch einmal an ob irgendwo ein
Fehler ist.

Comments

8x + 16.5 - 500 / x³ = 0

ist falsch

Dies Ergebnis ließe sich aber nur durch z.B. das Newton Verfahren
ermitteln.

Wen interessiert das Ergebnis ?

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Augen auf hj2188
Die Frage war :
Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs
optimiert? Begründen Sie.

Es soll also die optimale Grundkantenlänge berechnet werden und
diese mit einer realen Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs
verglichen werden.

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Es soll also die optimale Grundkantenlänge berechnet werden

Das muss ich denn wohl überlesen haben, vielleicht könntest du mir die entsprechende Stelle mal zitieren.

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Fehlerkorrektur
Produktregel
A ´( x ) = 4 * ( x + 1000 / x² + 4 ) + ( 4x + 0.5 ) * ( 1 - 2000 / x³ )
A ´( x ) = 4x + 4000 / x² + 16 + 4x - 4x * 2000 / x³ + 0.5 - 1000 / x³
A ´( x ) = 8x + 16.5 + 4000 / x² - 8000 / x² - 1000 / x³
A ´( x ) = 8x + 16.5 - 4000 / x^2 - 1000 / x^3
Extremwerte
8x + 16.5 - 4000 / x^2 - 1000 / x^3 = 0

x = 7.3 cm

Das Ergebnis bleibt bestehen.

Ich habe gereade eine reale Milchtüte nachgemessen.
Die Länge der Grundkante beträgt 7.3 cm.
Die Milchtüte ist bezüglich des Materialverbrauchs also optimiert.

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Gib einmal eine andere Begründung für

Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs
optimiert? Begründen Sie.

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Man setzt die gemessenen Werte bei A' ein und stellt fest, ob 0 herauskommt.

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Zur meiner Vorgehensweise:

Zur Lösung der Aufgabe mußte die 1.Ableitung gebildet werden.
Da diese mir etwas kompliziert erschien habe ich zunächst
die ganzen Rechnungen nochmals überprüft.
Dazu habe ich ein Matheprogramm verwendet und das Ergebnis x = 7.3 cm
herausbekommen. Dann habe ich nachgemessen und die Bestätigung
gefunden.
Vom Arbeitsaufwand war dies für mich die einfachste Variante.
Kurzfassung: Matheprogramm, alles nochmals kontrollieren, Ergebnis
auf Tastendruck. Nachmessen.Finito

Deine Variante : 1.Ableitung bilden. Nachmessen, Einsetzen. Finito

Beides ist gleichwertig. Meine Vorgehensweise ergab aus dem gesamten
Ablauf.