Grenzwerte für n gegen unendlich mit Un und On. f(x) = 2-x

Question

Untersumme und Obersumme über dem Intervall I = [0,2]

Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils

 für n->unendlich?

f(x)=2-x 

I=[0;2]

EDIT (Lu): Gemäss Kommentar Erklärungen von On und Un ergänzt. 

Comments

Weiß nicht, was daran sein soll. Du hast dir ja nicht einmal die Mühe gemacht, zu erklären, was Un und On sein soll...

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Un= Untersumme

On= Obersumme

Hab den Grenzwert mit f(x)=x^2 hinbekommen, aber bekomm das nicht mit dieser Funktion hin. 

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Wie heißt denn die genaue Aufgabenstellung? Die Figur ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, dessen Größe sofort ersichtlich ist.

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Die Aufgabe die oben steht ist die einzige Aufgabenstellung, die in meinem Buch steht...

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Skizze:

~plot~2-x;x=0;x=2~plot~

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Da der Graph fällt, muss die Untersumme von 1 bis n laufen und die Obersumme von 0 bis (n-1). Falls das dein Problem war, sollte es nun wie gewohnt funktionieren.

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Ich muss das mit der Obersummenformel n berechnen weiss aber nicht wie ich die Funktion dafür umformen muss..

Answer 1

1. Wo sind die Grenzen der Teilintervalle wenn du das Intervall \( [0;2] \) in \( n \) gleich große Teilintervalle zerteilst?

2. Was sind die maximalen Funktionswerte der einzelnen Teilintervalle? Addiere diese. Die Summe brauchst du für die Obersumme.

3. Was sind die minimalen Funktionswerte der einzelnen Teilintervalle? Addiere diese. Die Summe brauchst du für die Untersumme.

4. Multipliziere die Breite der Intervalle mit der Summe aus 2. um die Obersumme zu berechnen.

5. Multipliziere die Breite der Intervalle mit der Summe aus 3. um die Untersumme zu berechnen.

Falls du Probleme hast, diese Fragen allgemein für beliebige \( n \) zu beantworte, dann beantworte sie zunächst für \( n=3 \), \( n=4 \), \( n=5 \) ... bis du eine Regel findest.

Answer 2

f(x) = 2-x

I = [0,2] aufteilen in n Intervalle der Breite 2/n. 

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (2(n-1))/n)  )

= 2/n ( 2n - (0+2+4+....+(2(n-1)))/n )

= (4n)/n - (2/n) * 2(0+1+2+..... + (n-1))/ n )

=  4 - 4(1+2+..... + (n-1))/ n^2        |arithmetische Reihe

=  4 - 4(n(n-1)/2)/ n^2        |kürzen

=  4 - 2(n-1)/ n         | Zähler und Nenner durch n teilen. 

= 4 - 2(1 - 1/n)/ 1 

= 4 - 2(1 - 1/n)

Grenzwert (n-> unendlich)

lim_(n-> unendlich) O_(n) = 4 - 2 = 2. 

Erst mal nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren

und dann dasselbe nochmals für

Un = 2/n ( (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (2(n-1))/n + (2- (2n)/n) ) 

Comments

Das meinte ich, vielen vielen Dank Dir !!

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kann mir jemand verraten wieso

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (2(n-1))/n)

und nicht 

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (n-1)/n)

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über dem Bruchstrich steht immer doppelt so viel wie darunter. 

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Danke für die schnelle antwort, aber ich versteh es immernoch nicht 

Geht es nicht so weiter ?

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + (2 - 6/n) + (2 - 8/n)  .....+ (2 - (n-1)/n) 

Sorry, ich kann es einfach nicht verstehen warum .... (2 - (2(n-1))/n)   kommt. Bzw. warum das doppelte.

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Ah ich bin drauf gekomemn

On = 2/n ( (2-0) + (2-1*(2/n)) + (2 - 2*(2/n)) + (2 - 3*(2/n)) + (2 - 4*(2/n))  .....+ (2 - (n-1)*(2/n))  

weshalb

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) +  + (2 - 6/n) + (2 - 8/n) ..... + (2 - (2(n-1))/n)

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Man unterteilt das Intervall von 0 bis 2 in n gleich breite Teile.

Die Breite der Rechtecke ist 2/n.

Die Höhen sind an den Stellen x = 0, x = 2/n, x = 2*2/n, ..... x= 2*(n-1)/n zu bestimmen. 

Nachher rechnet man Breite * Höhe . Da die Breite immer gleich gewählt wurde, kann 2/n gleich ausgeklammert werden. 

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EDIT: Ja genau. Jetzt hast du dasselbe. 

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Ich zerbrech mir gerade nochmal den Kopf an dieser Aufgabe
unzwar versteh ich nicht wie du ausgeklammert hast 

On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (2(n-1))/n)  

= 2/n ( 2n - (0+2+4+....+(2(n-1)))/n 

= (4n)/n - (2/n) * 2(0+1+2+..... + (n-1))/ n

 Kannst du es vielleicht Schrittweise  erklären, ich bin wirklich doch hart am verzweifeln.

Also das Ausklammern macht mir grade echt Probleme.

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On = 2/n ( (2-0) + (2-2/n) + (2 - 4/n) + ..... + (2 - (2(n-1))/n)  

= 2/n ( 2n - (0+2+4+....+(2(n-1)))/n 

Hier hast du   2n-   ausgeklammert und nicht nur "2-" weil diese  2-, 2- ganze von n entsprechen, und dann hast du 1/n ausgeklammert.

= (4n)/n - (2/n) * 2(0+1+2+..... + (n-1))/ n 

Hier frag ich mich woher die   - (2/n) kommt

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Es haben ganz oben noch die vier schliessenden blauen Klammern gefehlt.

Beginne nochmals dort. Du solltest eigentlich keinen zusätzlichen Schritt brauchen.

Und übrigens 2+2+2+2+2.... + 2 = 2n, wenn n Summanden vorkommen.