Wenn du die Untersumme bei b) bilden willst, musst du
zunächst mal beachten, dass das Intervall von 0 bis 2 geht.
Wenn du da für die Untersumme n+1 gleichmäßig verteilte
Teilpunkte wählst, liegen die bei (Funktion ist ja fallend)
0 , 2/n , 4/n , 6/n , ... , (2n-2)/n, 2
Die n "Säulen" für die Untersumme haben also die Höhen
(Funktion ist ja fallend)
f(2/n) , f(4/n) , ...... f(2) oder etwas allgemeiner
f( k*2/n) für k=1 bis n .
Also ist die Untersumme
$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot f( \frac{k \cdot 2}{n})=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot ( 2-\frac{k \cdot 2}{n})=\frac{2}{n}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n}( 2-\frac{k \cdot 2}{n})$$
$$=\frac{4}{n}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n}( 1-\frac{k}{n})=\frac{4}{n}\cdot (\sum \limits_{k=1}^{n}1-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n})$$
Die Summe der n Einsen gibt n und bei der 2. Summe kann man 1/n rausziehen
$$=\frac{4}{n}\cdot (n-\frac{1}{n}\sum \limits_{k=1}^{n} k)$$
Und für die Summe der k's gilt die Formel n*(n+1)/2 , also
$$=\frac{4}{n}\cdot (n-\frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2})=\frac{4}{n}\cdot (n- \frac{ n+1}{2})=\frac{4}{n}\cdot (\frac{ n-1}{2}) =2 \cdot \frac{n-1}{n}$$
Und für n gegen unendlich ist der Grenzwert - wie gewünscht - die Zahl 2.
