Brauche bei dieser Grenzwert Aufgabe Hilfe

Question

Bei uns steht in der Lösung für $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n-1 } } ) } ^{ { 2 }^{ n } }= {e }^{ 2}.  $$  Hier nochmal der genaue Lösungsvorschlag:






Könnte mir jemand vielleicht diesen Rechenweg erklären? Denn ich würde es auf diese Weise aussrechnen: $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n-1 } } ) } ^{ { 2 }^{ n } }= { (1+0) }^{ { 2 }^{ n } }={ 1 }^{ { 2 }^{ n } } \Longrightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ =1. }  $$ Wenn ich in den Taschenrechner für n eine hohe Zahl einsetze, kommt auch 1 raus.

Comments

Vergiß deine Weise ganz schnell wieder! Welchen Schritt bzw. was genau verstehst du an der vorgegebenen Lösung nicht?

Ach und das mit dem Taschenrechner liegt daran, dass du es falsch eingibst.

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Ich verstehe leider überhaupt gar nicht, wie man im ersten Schritt von \( \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n-1 } } ) } ^{ { 2 }^{ n } }\) auf  \(\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 2 }{ { 2 }^{ n } } ) } ^{ { 2 }^{ n } } \) kommt. Dass man anschließend für \( { 2 }^{ n } \) die Variabel \( N \) einsetzt verstehe ich, es vereinfacht die Gleichung. Aber wie kann man den Zähler verdoppeln ohne den Bruch zu verändern und im Exponennt vom Nenner aus \(n-1\) einfach \(n\) machen?

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Da hat man den Bruch einfach mit 2 erweitert.

$$ 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $$

...

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Hi, der Bruch wurde einfach mit 2 erweitert. Für den Nenner gilt damit:

$$ 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n \ .$$

Dir wurde ja bereits gesagt, dass dein Rechenschritt nicht geht. Der Grund ist direkt das erste Gleichheitszeichen. Es gibt keinen Grenzwertsatz, dass du den Limes in die Klammer ziehen kannst, wenn die Klammer noch vorher potenzentiert (von n abhängig) werden muss.

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Oje, dass ist mir jetzt peinlich, vielen Dank aber. Ok, und das \(  \lim _{ N\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 2 }{  N  } ) }    ^{N}   ={e}^{   2  } \) ist, ist wohl eine Regel die ich übersehen habe, oder lässt es sich anders berechnen?

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$$ e^x := \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n \ .$$

So kann man halt die e-Funktion definieren und das kann man natürlich auch beweisen, also dass es gleich der Summenschreibweise ist. Nur anhand der Aufgabe und vor allem mit dem Lösungsvorschlag lässt sich vermuten, dass ihr diese Definition hattet bzw. diese zumindest benutzen dürft.

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Vielen vielen Dank an euch beiden!!!

Answer 1

Ich mache mal die Herleitung

lim (x --> ∞) (1 + x/n)^n

lim (x --> ∞) EXP(LN((1 + x/n)^n))

lim (x --> ∞) EXP(n·LN(1 + x/n))

Wir kümmern uns nur um den Exponenten

lim (x --> ∞) n·LN(1 + x/n)

lim (x --> ∞) LN(1 + x/n) / (1/n)

L'Hospital

lim (x --> ∞) - x/(n·(x + n)) / (- 1/n^2)

lim (x --> ∞) n·x/(x + n)

lim (x --> ∞) x/(x/n + 1) = x

lim (x --> ∞) EXP(n·LN(1 + x/n)) = EXP(x) = e^x