Wieso ist dies kein Untervektorraum?

Question

ich habe mal eine Frage: Ich habe zwei Mengen, eine von denen ist ein Untervektorraum, der andere nicht. Kann mir jemand das erklären und begründen wieso der eine einer ist und der andere nicht?

M ist eine Menge und V = Abb(M, K) und x∈ M fest.

1) U := {f ∈ V | f(x) = 0} ⊆ V

2) U := {f ∈ V | f(x) = 1} ⊆ V

Hierbei ist 1) ein Untervektorraum und 2) nicht.

Comments

Grobe Idee dazu:

zu 1) Offenbar ist U nicht leer. Weiter haben Summen und Vielfache von Vektoren aus U sicher die gleiche Nullstelle x=0.

zu 2) Einfache Beispiele zeigen, dass die beiden letzten Argumente aus 1) nicht übertragen werden können.

Das musst Du noch etwas vervollständigen und genauer aufschreiben

Answer 1

Ich weiß nicht ob das so soll, das fast nie eine konkrete Antwort gegeben wird, aber wie im Kommentar schon richtig gesagt:

Zu 1):

Dies ist ein Untervektorraum. Betrachten wir die Untervektorraum-Axiome:

1. U ≠ ∅

2. v, w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

3. v ∈ U, λ ∈ K ⇒ v * λ ∈ U

 

1. Da das Element {0,0,0,...} ∈ U, ist U ≠ ∅

2. v,w := {0,0,0,...} ∈ U

x := v + w = {v₀ + w₀, v₁ + w₁,...} = {0 + 0, 0 + 0,...} = {0,0,0,...}

⇒ v + w ∈ U

3. v := {0,0,0,...} ∈ U, λ ∈ K

x := v * λ = {v₀ * λ, v₁ * λ,...} = {0 * λ, 0 * λ,...} = {0,0,0,...}

⇒ v * λ∈ U

Somit: U ist ein Untervektor von V

 

Zu 2):

1. Da das Element {1,1,1,...} ∈ U, ist U ≠ ∅

2. v,w := {1,1,1,...} ∈ U

x := v + w = {v₀ + w₀, v₁ + w₁,...} = {1 + 1, 1 + 1,...} = {2,2,2,...}

⇒ v + w ∉ U

⇒ U ist kein Untervektorraum von V

 

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen...

Comments

Ein Einwand:

Inwiefern ist {0,0,0,...} denn eine Abbildung?

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In seinem Fall ist der Vektorraum die Menge aller Abbildungen. Da dies allerdings sehr schwer ist zu verbildlichen, schreibe ich meine Abbildungen immer als Folge auf. Es ist exakt das Gleiche wenn man diese Folge als Abbildung betrachtet (im Hinblick auf die Addition und Multiplikation). Man muss lediglich wissen, dass meine Folge eine verbildlichte Abbildung darstellt.

Für mich ist es so leichter, mir einen Vektor von Abbildungen vorzustellen, wenn du damit aber nichts anfangen kannst, so brauchst du es nicht zu verwenden.