Reihe auf Konvergiert Konvergenz überprüfen

Question

Es ist auf Konvergenz zu überprüfen:

$$ \sum _{ 1 }^{ N }{ \sqrt { n²+n } -n } $$

Ich habe die Reihe mit Hilfe der dritten binomischen Formel umgeformt und bekomme folgendes Ergebnis:

$$ \sum _{ 1 }^{ N }{ \frac { n }{ \sqrt { n²+n } +n }  } $$

Nun hab ich das Quotienkriterium genommen und erhalte zum Schluss

$$ \lim _{ n->\infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right|  } =...=\frac { 2n+2 }{ 2n+1 } $$

Wenn ich nun n ausklammere und kürze, erhalte ich ja keine Aussage, da bzw. lim = 1.

Reicht es, wenn ich nicht kürze und argumentiere, dass der Zähler immer größer als der Nenner ist und damit lim > 1, somit divergiert die Reihe?

Comments

Ich glaube du möchtest gucken, ob

$$\frac{2n+2}{2n+1} < 1$$

ist, anstatt irgendwas mit Limes.

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beim quotientenkriterium ist der limes verlangt, wenn ich mich nicht irre ... 

ich erkenne aber sofort das die letze gleichung $$ \frac { 2n+2 }{ 2n+1 } $$ nicht kleiner 1 werden kann somit sondern wenn überhaupt >1 ist somit divergiert diese. 

die frage ist muss ich aufrgund des limes diesen schritt machen : 

$$ \lim _{ n\mapsto \infty  }{ \frac { n(2+\frac { 2 }{ n } ) }{ n(2+\frac { 1 }{ n } ) }  } =\quad 1 $$

oder kann ich vorher argumentieren mit meiner o. genannten aussage 

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Also ich verstehe was du meinst, aber es macht halt in meinen Augen keinen Sinn. Ich hatte kein Mathe an einer Hochschule und kenne das Quotientenkriterium nur für unendliche Reihen und dann ohne Limes. Weil meiner Meinung nach ist

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_\infty}{a_\infty} = 1 \ , $$

also immer 1 (wenn der Grenzwert existiert und ungleich Null ist). Für mich macht es mathematisch gesehen halt mehr Sinn ohne Limes. Doch wie gesagt, hatte keine Uni-Mathematik und kenne deine Definition des Quotientenkriteriums nicht, wollte nur meinen Kommentar abgegeben haben. :P

Answer 1

@Fragesteller: \(a_n\) ist keine Nullfolge also kann deine Reihe gar nicht konvergieren.

@Yukawah:

Kann deine Ausführung nicht nachvollziehen, da diese mathematisch wenig Sinn machen.  Wenn du schon davon ausgehst, dass \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = c \neq 0 \), dann brauchst du das Q-Kritierum gar nicht zu betrachten, selber Argumentation wie oben. Und ja selbstverständlich gibt es eine Definition des Q-Kritieriums über den Limes.

Gruß

Comments

Verstehe, danke. :P Habe auch mal den Wikipedia-Artikel gelesen und ja, man sollte meine Kommentare oben wieder streichen.