weitere korrekturen von gestern^^ ( injektivität)

Question

f(x) = √(-x^2 +4)   , f: R-> R

D{x € RI -2 <= x >= 2}

W=[0 , 2]

min _{x € D} f(x)= 0 = Infinmum _{x € D} f(x)

max _{x € D} f(x)= 2 = Supremum _{x € D} f(x)

nicht injektiv , da  f(x) =1 bei x= + - 1,73 zu finden ist.

ich habe dann versuch die mehthode von gestern zu benutzen aber irgwie komme ich auf Widerspruch

√(- x₁^2 +4) = √(- x₂^2 +4)  I ()^2

=> -x1^2+4 = - x2^2 +4  I -4 I/-1

<=> x1^2 = x2^2

somit wäre es ja injektiv?

was ist hier falsch gelaufen

Vielen Dank

immai

Comments

Der Definitionsbereich ist falsch.

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Der Deifinitionsbereich wurde falsch gewählt

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beudeutet es nicht das alles von minus 2 bis plus 2 gezählt wird?

D=[-2,2]

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Das wäre der richtige Definitionsbereich, das steht oben aber nicht.

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wie müsste es dann richtig geschrieben werden?,

und was ist mit dem rest?=

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Dein Argument ist anscheinend
$$f\left(\pm\sqrt{3}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad f \text{ ist nicht injektiv.}$$Das kannst Du dann auch so hinschreiben, mehr gibt es nicht zu tun.

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ja aber was ist mit dem anderen versuch da kommt plötzlich injektiv raus?

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Es fehlt noch der Abschluss, er lautet:$$ \dots\\\,\\\Rightarrow\quad x_1^2 = x_2^2 \\\,\\\Rightarrow\quad x_1=x_2 \quad\lor\quad x_1=-x_2\\\,\\\Rightarrow\quad f\text{ ist nicht injektiv.} $$

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Ok gut

aber warum ist x1 nicht negativ?

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Da steht doch gar nicht, dass \(x_1\) nicht negativ ist.

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Endlich bist du da^^

Aber wenn man wurzel zieht muss doch plus ergeben?

Und warum genau ist mein deff vorher falsch gewesen hab es nicht verstanden.

Answer 1

Aber wenn man wurzel zieht muss doch plus ergeben?

Wurzelziehen ist wie das Quadrieren im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung.

Richtig wäre \( x_1^2 = x_2^2 \Leftrightarrow |x_1| = |x_2| \). Daher ja auch die vom Gast beschriebenen Möglichkeiten.

Und warum genau ist mein deff vorher falsch gewesen hab es nicht verstanden.

Weil du in der Klammer geschrieben hast: \( -2 \leq x \geq 2 \).

Richtig wäre aber: \( -2 \leq x \leq 2\).

Gruß

Comments

Das mit dem deff ist mir jetzt klar.

x21=x22⇔|x1|=|x2|

Ist somit immer nicht injektiv?

-x1=-x2

x1=x2?

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Nicht die Gleichung ist injektiv sondern die zugehörige Funktion. Und da kommt es auf den Definitionsbereich an.
Aus der Beziehung dass die Beträge beider Zahlen \(x_1\), \(x_2\) gleich sollen, folgert man ja (wie der Gast schon geschrieben hat), dass die Zahlen gleich sind oder sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Wenn der Definitionsbereich der Funktion den zweiten Fall zulässt (und das ist ja bei der betrachteten Funktion so), dann kann die Funktion nicht injektiv sein.

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ok danke alles klar

und der rest stimmt?

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Ja, wobei deine Begründung, dass \(f\) nicht injektiv ist durch die Angabe eines Gegenbeispiels kürzer und simpler ist und vollkommen ausreicht. Ich hätte aber ein einfacheres Gegenbeispiel genommen ;).

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vielen dank

ich habe erneut eine aufgabe gemacht hoffe das da alles korrekt ist

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@Yakyu: Ist \(\pm\sqrt{3}\) denn nicht schön einfach?

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Da tut sich nicht viel, ist halt geschmacksache :). Aber dann auf jeden Fall so, anstatt zu runden.

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Sers Yakyu :-)
Kannst du mir eventuell bei einer offenen Frage helfen (schon gestellt, über Peano Axiome)
Grüße