Stimmt mein Beweis durch Widerspruch und wie schließe ich ihn richtig ab?

Question

Angabe:

Dies gilt durch Widerspruch zu beweisen: ∀x∈ℝ mit x³+2x > 0 => x > 0

Meine Versuche:  Tatsache: ¬p => (q Λ ¬q) => p  Voraussetzung: Sei x∈X so ist x³+2x > 0 => x > 0 mein p¬p:  x³+2x > 0 Λ x ≤ 0            q
 => x(x²+2) > 0               q 
 => x ≤ 0 <=> -x ≥ 0                               (x²+2) > 0                Beides miteinander multiplizieren => (-x)(x²+2) ≥ 0 <=> (-x)³-2x ≥ 0  und *(-1)  
daraus folgt x³+2x ≤ 0 ergibt mein ¬q Wie beende ich diesen Beweis, bzw. habe ich irgendwelche Fehler gemacht?

Answer 1

∀x∈ℝ mit x³+2x > 0 => x > 0

Meine Versuche:  Tatsache: ¬p => (q Λ ¬q) => p

Voraussetzung: Sei x∈X so ist x³+2x > 0 => x > 0 mein p

ich würde den Quantor mitnemen  p = ∀x∈ℝ mit x³+2x > 0 => x > 0

¬p:   ∃x∈ℝ mit     ¬ ( x³+2x > 0 => x > 0 ) 

also    ∃x∈ℝ mit       x³+2x > 0 Λ x ≤ 0            
    =>      ∃x∈ℝ mit     x(x²+2) > 0       Λ x ≤ 0        
    =>      ∃x∈ℝ mit    ( ( x<0 ∧ x^2+2 < 0 ) v (   x>0 ∧ x^2+2 > 0 )  )    Λ   x ≤ 0       

weil x^2+2 < 0  immer falsch ist, kann das rote wegfallen 

( wegen   p und falsch  = falsch )

  =>      ∃x∈ℝ mit    (   x>0 ∧ x^2+2 > 0 )  )    Λ   x ≤ 0       

weil das grüne immer wahr ist, kann das in der UND-Verb. wegfallen
wegen  p und wahr = p

  =>      ∃x∈ℝ mit      x>0    Λ   x ≤ 0

Das ist falsch, weil es kein gibt, das sowohl größer als auch kleinergleich 0 ist.

        

Comments

Vielen Dank jetzt verstehe ich wie man richtig vorgeht! sehr sehr hilfreich !

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würde man aber bei fortgeschrittenem Lernzustand

deutlich kürzer formulieren, etwa so :

∀x∈ℝ   x³+2x > o => x > 0

Angenommen die Aussage sei falsch, dann gäbe es

ein x aus R mit  x³+2x > o und  x <0

das hieße  x*(x^2 + 2) > 0 und x < 0

aber x<0 und x^2 + 2 > 0 würde  x*(x^2 + 2) < 0

bedeuten. Widerspruch.

Damit ist  ∀x∈ℝ   x³+2x > o => x > 0

durch Widerspruchsbeweis gezeigt,