Bestimmen Sie drei positive Zahlen x; y; z, deren Summe gleich 60 ist und deren Produkt maximal ist

Question

Hiho,

weiß jemand, wie man an so ein Rätsel herangehen würde und was maximales Produkt bedeutet?

Rätsel: Finde drei positive Zahlen a,b, und c, deren Summe 60 und deren Produkt maximal ist.

Comments

Du hast die Summe a+b+c = 60 vorgegeben.

Ein Produkt ist das Resultat einer Multiplikation. Deshalb

Produkt = a*b*c.

Nun kannst du Werte für a, b und c nach Vorgabe einsetzen und schauen, was als Produkt rauskommt.

Bsp. a=b=0 und c = 60 liefert Produkt = 0. Sicher nicht maximal. Na ja, 0 ist ja auch nicht unbedingt positiv.

Nächster Versuch: a=b=1 und c = 58 liefert Produkt = 58. Schon besser.

etc.

Am Schluss solltest du aber erklären, warum du sicher bist, dass jetzt wirklich kein höheres Resultat mehr möglich ist.

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"Kann jemand was damit anfangen?"

Nun, übersetzt lautet die Aufgabe: Finde die Kantenlängen des volumengrößten Quaders unter allen Quadern gleicher Kantenlänge. Die Aufgabe ist nicht etwa deswegen so beliebt, weil die Lösung so überraschend ist, sondern weil man sich an diesem einfachen Beispiel mit der allgemeinen Lösungsmethode vertraut machen soll...

Answer 1

Ich denke die Aufgabe kann eindeutig durch partielle Differentiation gelöst werden.

c = 60 - a - b
f (a,b) = a * b * ( 60 -a -b )
f(a,b) = 60 * a * b - a^2*b - a*b^2

partielle Diff. nach a
b wird als Konstante betrachet und die Funktion nach a abgeleitet
f ´(a) = 60 * b  - 2*a*b - b^2
f ´(a) = b * ( 60 - 2*a - b)  l der Extremwert ist in der 1.Ableitung = 0  l => b = 0
übrig bleibt : ( 60 - 2*a - b ) = 0

partielle Diff. nach b
a wird als Konstante betrachet und die Funktion nach b abgeleitet
f ´(b) = 60 * a  - 2*a*b - a^2
f ´(b) = a * ( 60 - 2*b - a)  l der Extremwert ist in der 1.Ableitung = 0  l => a = 0
übrig bleibt : ( 60 - 2*b - a = 0

f ´(a) :
60 - 2*a - b = 0  l nach b umstellen
b = 60 - 2*a

f ´(b) :
60 - 2*b - a = 0  l b eingesetzt
60 - 2*(60-2*a) - a = 0
60 - 120 + 4*a - a = 0
3*a - 60 = 0
a = 20

b = 60 - 2*a = 60 - 2*20
b = 20

c = 60 - a- b
c = 20

mfg Georg

( falls ich mich nicht irre )

Comments

Hey Kumpel; wenn du zum Schmidtchen gehst. Warum gehst du nicht gleich zum Schmidt?

Partiell Differenzieren wennde kannst. Na kannste eben so gut Lagrange; siehe meine Antwort.

Answer 2

<< weiß jemand, wie man an so ein Rätsel herangehen würde?

Natürlich; bei mir immer mit einem Schmuddeltrick, dem logaritmischen  Trick, der typisch für mich ist:

p ( x ; y ; z ) := x y z = max ( 1a )

f ( x ; y ; z ) :=  ln ( p ) = ln ( x ) + ln ( y ) + ln ( z ) = max    ( 1b )

mit der Nebenbedingung

s ( x ; y ; z ) := x + y + z = const = 60     ( 1c )

<< weiß jemand, wie man an so ein Rätsel herangehen würde?

Aber freilich; mit der Methode des Cavaliere Don Lodovico Spaghetti Lagrangia da Torino, auch als ===> Lagrangeverfahren berüchtigt. Alle gebildeten Menschen machen das nämlich so.

Dieses Verfahren wenn du erst mal drauf hast, dann kriegt dein Schmierblatt ein ganz ungewohntes Schriftbild:

1) aufstellung der Extremalbedingung an Hand der Textaufgabe

2) Ggf. technische Vereinfachungen ( wie in ( 1b ) )

3) Protokollierung sämtlicher Nebenbedingungen

4) Jede Nebenbedingung bekommt einen ===> Lagrangeparameter ( LP ) zugewiesen.

5) Bildung der ===> Linearkombination ( LK )

6) Notwendige Bedingung für Extremum: ===> Gradient Null setzen

Den LP von ( 1c ) nenne ich k;  unsere LK lautet demnach

H ( x ; y ; z ) := f ( x ; y ; z )+  k   s ( x ; y ; z )    ( 2 )

H_x = 1/x + k = 0    ( 3a )

H_y = 1/y + k  = 0  ( 3b )

H_z = 1/z + k = 0   ( 3c )

Und wenn du jetzt meditierst, wie wir diesen Dummy k wieder los werden, der uns ja überhaupt nicht intressiert. Durch Subtraktionsverfahren lassen sich diese 3 Gleichungen ( 3a-c ) zu zwei Gleichungen zusammen ziehen, welche am Ende besagen

x = y = z    ( 4 )

Du kannst also sehr wohl mit 3 Variablen und nur einer Nebenbedingung eine eindeutige Lösung erhalten.

Beachte; durch den Logaritmustrick ist es uns gelungen, die Variablen in ( 3a-c ) zu separieren, dass die nicht mehr aneinander " kleben "

Der genaue Wert 60 der Konstanten aus ( 1c ) geht auch nirgends in den Algoritmus ein; die Aussage dahinter ist immer, dass die Lösung nicht für ein invidubelles Problem, sondern gleich für eine ganze KLASSE gilt. Daher musst du am Schluss noch 4 in ( 1c ) einsetzen und bekommst als Lösung natürlich x = y = z = 20 und somit für das " maximalSTE " Produkt 8 000 . Noch Verständnisschwierigkeiten?