Sensitivitäsanalyse bei dem Simplexalgorithmus

Question

Wenn ich bei der Sensitivitätsanalyse (Restriktion: b4=15):

y1≥ 0 <=>     0-15· ∆b4 ≥ 0 => ∆b4 ≥ 0

x1≥ 0 <=>  20-2,5· ∆b4 ≥ 0 => ∆b4 ≤ 8

y1≥ 0 <=> 15+1,5· ∆b4 ≥ 0 => ∆b4 ≥ -10

x1≥ 0 <=>    15+1· ∆b4 ≥ 0 => ∆b4 ≥ -15

raus habe, ist meine Lösung (hab ich auch mit dem Excel Solver überprüft) ja:

-10 ≤ ∆b4 ≤ 0
5 ≤   b4  ≤  15

Was heißt das genau?

In meinem Skript von der Uni steht, das die bisherige Basislösung (Struktur, nicht Werte!) zulässig bleibt und damit optimal, wenn die Basisvariablen nicht negativ sind. Das versteh ich nicht -.-

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Was heißt das genau?

Die Analyse, die Sie durchgeführt haben, ist ein Teil der Sensitivitäts- oder Postoptimalitätsanalyse beim Simplexalgorithmus in der linearen Programmierung. Diese Analyse untersucht, wie die Änderungen in den Restriktionskonstanten \( b_4 \) das Optimierungsproblem beeinflussen, insbesondere die Zulässigkeit und Optimalität der aktuellen Basislösung. Ihre Berechnung zielt darauf ab, herauszufinden, in welchem Bereich die Konstante \( b_4 \) variieren kann, ohne dass sich die Basislösung (das heißt, welche Variablen Basisvariablen sind) ändert. Jedoch sollen dabei die Basisvariablen weiterhin die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen, um eine zulässige Lösung zu bleiben.

Sie haben herausgefunden, dass \( \Delta b_4 \) zwischen \(-10\) und \(0\) liegen kann, und darauf basierend, dass \( b_4 \) zwischen \(5\) und \(15\) liegen muss, um die bisherige Lösung zulässig und optimal zu halten. Das bedeutet konkret:

- Zulässigkeit: Die Basislösung bleibt zulässig, wenn die Änderungen in \( b_4 \) dazu führen, dass keine der Basisvariablen negativ wird. Die Nichtnegativitätsbedingungen, die Sie aufgestellt haben (\( y_1 \geq 0 \) und \( x_1 \geq 0 \)), dienen dazu, diesen Bereich zu definieren. Basierend auf Ihren Berechnungen ist die Lösung zulässig, wenn \( b_4 \) innerhalb der ermittelten Grenzen bleibt, da alle Basisvariablen nichtnegativ bleiben.

- Optimalität: Die Aussage aus Ihrem Skript bedeutet, dass solange die Zulässigkeit der Basislösung gegeben ist (also alle Basisvariablen nicht negativ sind), diese Lösung auch optimal bleibt. Das liegt daran, dass im Rahmen der linearen Programmierung und unter der Annahme, dass die ursprüngliche Lösung optimal war, kleine Änderungen innerhalb gewisser Grenzen nicht dazu führen, dass eine andere Lösung besser (also "optimaler") wird. Die Struktur der Lösung bleibt unverändert, was bedeutet, dass dieselben Variablen in der Basis bleiben, auch wenn sich ihre Werte ändern können.

Diese Sensitivitätsanalysen sind wichtig, um zu verstehen, wie robust eine Lösung gegenüber Änderungen in den Modellparametern ist. Sie geben Entscheidungsträgern die Möglichkeit zu erkennen, innerhalb welcher Grenzen ihre Entscheidungen stabil bleiben und wann es notwendig sein könnte, das Modell zu revidieren oder andere Maßnahmen zu ergreifen, falls sich die Rahmenbedingungen ändern.