Körper , Primzahl , Beweis

Question

Sei K ein endlicher Körper . Zeigen Sie

∏ a = -1 

a in K* , K* = K \ {0}

Folgern Sie daraus , dass für jede Primzahl p gilt :

p teilt (p-1)! + 1

Answer 1

K* ist zyklisch, sei b ein Erzeuger.

Damit ist $$\prod_{a \in K^*} a = \prod_{i=0}^{q-1} b^i=b^{\sum_{i=0}^{q-1}i} = b^{\frac{(q-1)q}{2}} $$

Ist q ungerade so gilt:

$$=(b^q)^{\frac{q-1}{2}} =b ^{\frac{q-1}{2}}=-1$$

Ist q gerade so gilt:

$$=( b^{q-1})^{q/2} =1^{q/2} =1=-1 $$

Answer 2

Die Gleichung \(a^2=1\) hat in einem Koerper nur die beiden Lösungen \(a=\pm 1\). Fuer alle anderen \(a\) ist deshalb \(a\ne a^{-1}\). Mithin kann man schreiben: $$\prod_{a\in K^*}a=1\cdot(-1)\cdot a_1 a_1^{-1}a_2 a_2^{-1}\ldots a_k a_k^{-1}$$ (Findet man mit Google in drei Minuten. Warum werden solche Aufgaben eigentlich hier eingestellt, wenn die Leute doch bloss eine Komplettloesung zum Abschreiben suchen?)