Indirekter Beweis von (∀x∈ℝ)((∀y∈ℝ) : xy ∉ ℚ => (x∉ℚ v y∉ℚ )

Question

Hat bitte irgendwer einen Denkanstoß für einen indirekten Beweis folgender Aussage:

(∀x∈ℝ)((∀y∈ℝ) : xy ∉ ℚ => (x∉ℚ v y∉ℚ )

Unser Anfang:

(∃x∈ℝ)(∃y∈ℝ) : (x∈ℚ Λ y∈ℚ ) =>  xy ∈ ℚ

Wie geht man weiter vor?

Wir bitten um Hilfe!

Danke

Answer 1

(∀x∈ℝ)((∀y∈ℝ) : xy ∉ ℚ => (x∉ℚ v y∉ℚ )

Annahme: ¬ ( x∉ℚ v y∉ℚ ) 

->  x∈ℚ ∧ y∈ℚ  [de Morgan]

-> x = a/b und y = c/d mit passenden a,b,c,d ∈ ℤ   [Definition von ℚ]

-> x•y = a/b • c/d = (a•b) / (c•d) ∈ ℚ

Widerspruch zur Voraussetzung x•y ∉ ℚ

Answer 2

Euer Anfang ist falsch: Die Verneinung einer Implikation ist nicht die Kontraposition, denn die ist ja aequivalent zu der Implikation.

Korrekt ist ∃x∈ℝ ∃y∈ℝ : xy ∉ ℚ Λ x∈ℚ Λ y∈ℚ als Negation.

Comments

Und daraus lässt sich ja ein Widerspr. herleiten

wie Wolfgang es vorgemacht hat.

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okay vielen dank!

Also beim indirekten Beweis nehme ich einfach den gesamten Ausdruck und verneine ihn. Weil p => q das gleiche ist wie ¬q => ¬p und nach dem hab ich ja gearbeitet, was also falsch war.

Okay alles klar und danach bring ich einfach die a,b,c,d ins spiel und irgendwann kommt dann sozusagen ein Widerspruch beim durchlauf des indirekten Beweisens zum Vorschein?

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Und beim Verneinen musst du eben die Quantoren beachten

Du hast dann ( wie Gast ia2211 schon sagte) eine

Existenzaussage.

Und die Existenz von solchen xy wurde ja zum Widerspruch

geführt. Denn es war ja die Existenz behauptet von xy mit

xy ∉ ℚ Λ x∈ℚ Λ y∈ℚ

und aus den letzten beiden Teilen wurde ein Widerspruch

zum ersten hergeleitet. Bei UND müssten aber

alle drei Teile wahr sein. Deshalb ist die

Gesamtaussage eben falsch.

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Aber das wäre ja dann der Beweis durch Widerspruch und nicht der indirekte Beweis oder?

Jetzt kenn ich mich nimmer aus. Ich muss ja indirekt beweisen und wenn ich de Morgan anwende beweise ich ja durch Widerspruch. Das darf ich aber nicht.