Verständnisfrage Äquivalenzrelation / Äquivalenzklasse

Question

Gerade beschäftige ich mich mit Äquivalenzrelationen und habe hierzu eine Aufgabe mti Lösung(sansatz), bin mir aber nicht sicher, ob sie korrekt ist:

Gegeben ist R={(x,y)∈ℝ² | (x=y) oder (x*y = 1)}
Frage: Handelt es sich um eine Äquivalenzrelation und wie sind die Äquivalenzklassen?

Zu1)
R ist reflexiv, da (x,x) Element von R
Sie ist symmetrisch, da (x,y) und (y,x) Elemente von R sind
Sie ist transitiv, da (x,y), (y,z) und (x,z) Elemente von R sind

Aber wie gehe ich nun mit den Referenzklassen vor?

so wie ich es verstanden habe, kann ich es wie folgt schreiben:
[a] = {a ∈ ℝ | (a,b) ∈ R }  ..in der Bedeutung alle Relationen von a mit b

das würde heißen:
[0] = {0} ...in der Bedeutung: 0 steht mit 0 in relation
[1] = {1} ...in der Bedeutung: 1 steht mit 1 in relation
[2] = {2, 1/2} ...in der Bedeutung: 2 steht mit 2 und 1/2 in relation usw.
[3] = {3, 1/3}

Ist das richtig? Inhaltlich und formal?

Answer 1

Bis auf Formalitäten ist alles richtig:

1)  " Sie ist transitiv, da (x,y), (y,z) und (x,z) Elemente von R sind "

Nicht alle (x,y) ... sind Element von R. Richtig:

Sie ist transitiv, da   [(x,y) ∈ R  und (y,z) ∈ R]  ->  (x,z) ∈ R  (könnte man vielleicht etwas genauer begründen)

2)  " [a] = {a ∈ ℝ | (a,b) ∈ R } "

[a] = {b ∈ ℝ | (a,b) ∈ R } 

3) " Aber wie gehe ich nun mit den Referenzklassen vor? "

"Referenzklasse" ist nicht das gleiche wie "Äquivalenzklasse"

vgl. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzklasse

Comments

Entschuldigung, natürlich meinte ich die Äquivalenzklassen (da sieht man, dass ich mittlerweile selbst schon durcheinander bin...)

Ich habe versuch, diese zu formulieren, aber sollte dies nicht "formaler" sein? Angenommen, mein Ergbnis stimmte, so kann ich ja nicht alle Zahl dort hinschreiben. Wäre eine Formulierung wie

[0] = {0}
[1] = {1}
[a] = {a, 1/a} für a ∈ ℝ

korrekt?

Der erste Einwand stimmt natürlich. Man sollte dies dabeischrieben.

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Nachtrag: eigentlich reduziert sich das ganze auf:

[0] = {0}
[a] = {a, 1/a} für a ∈ ℝ und a≠0

aber die Grundfrage bleibt.