Verstehe einen Zusammenhang einer Zahlenfolge nicht:

Question

unser Prof. hat heute notiert:

x = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
   = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) - 2(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
   = 0

Wieso daraus 0 folgt, ist mir klar.
Ich verstehe nicht wie der Prof einmal von der Folge 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...
auf die Folge 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... kommt. Zudem ist mit unklar,
warum auf der rechten Seite die Folge 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... mit 2
multipliziert wird. Das daraus die selbe Folge wie links ist, kann ich
erkennen. Es geht hier nur darum, die einzelnen Schritte zu verstehen.

Florian T. S.

Answer 1

Er hat um von 1 + 1/3 + 1/5 + ... auf 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 ... zu kommen einfach 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... zu der ersten hinzuaddiert. Und um den Wert der Ausdrücke zwischen den Gleichheitszeichen nicht zu verändern muss er das, was er aufaddiert, auch im gleichen Schritt wieder abziehen. Und da er die gleiche Folge rechts schon einmal abzieht, kann er sie auch einfach 2 mal abziehen.

Answer 2

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...

= 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1/2 - 1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/6 - 1/6 + ...

= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... - 1/2 - 1/4 - 1/6 - ...

Ist das so klar ?

Comments

Also darf man einfach so "erweitern" ?
Damit meine ich eine Zahlenfolge erweitern, solange man das "Gegenteil" der Zahl zusätzlich hinzufügt?
Wie bei: + 1/2 - 1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/6 - 1/6 + ...

Und die Multiplikation mit 2 soll dann zeigen, dass daraus beide Zahlenfolgen 0 ergeben?

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Naja. Vielleicht wollte euch der Dozent damit etwas klar machen

Würdest du sagen dass die Summe

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 ist ?

Hier ist der Beweis

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Was da angestellt wird, ist noch viel furchtbarer. Zeig sowas doch nicht einem Anfänger, der sich gerade zum ersten Mal mit Reihen beschäftigt. Sonst glaubt diesen Humbug vielleicht noch jemand. ;-)

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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/2 macht für mich keinen Sinn, da ich hier aufaddiere.
Wenn ich einen Apfel habe, und dann zwei hinzufüge habe ich drei.
Wenn ich drei mehr hinzufüge erhalte ich sechs. Lasse ich dies gegen unendliche laufen,
müssten sich die Äpfel auch unendlich vermehren und nicht reduzieren.

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In diesem Video wird soviel Unfug mit Reihen angestellt (d.h. es werden "Rechengesetze" verwendet, die es gar nicht gibt), dass am diese Behauptung "gezeigt" wird
Und auch in diesem Video wird mit Dingen "gerechnet", die gar nicht definiert sind.

Also nicht verwirren lassen.

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Worauf ich hinaus will das man mit unendlichen reihen immer sehr vorsichtig sein muss wenn man da etwas beweisen will.

Noch ein schönes Beispiel

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Wobei das letzte Video eher etwas mit Mächtigkeiten von Mengen zu tun hat (unendliche Teilmengen von \(\mathbb N\) haben dieselbe Mächtigkeit wie \(\mathbb N\)).
Interessant ist in diesem Zusammenhang auch Hilberts Hotel.

Answer 3

Ich bezweifle, dass euer Prof. das so angeschrieben hat. Und wenn doch: Es stimmt nicht.

Schon der Ausdruck in der ersten Zeile ergibt keinen Sinn. Es gilt nämlich \(1+\frac 1 3+\frac 1 5+\frac 1 7+...=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{2n-1}=\infty\) und \(\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 6+\frac 1 8+...=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{2n}=\infty\) (das sind beides Abwandlungen der harmonischen Reihe).

D.h. in der ersten Zeile steht \(\infty-\infty\); und das ist überhaupt nicht definiert.

In der zweiten Zeile das gleiche Problem. Und von zwei Dingen, die nicht definiert sind zu behaupten, dass sie gleich sind, halte ich für überaus abenteuerlich. ;-)
Und erst recht nicht kann man sagen, dass das gleich Null sein soll.

Comments

Habe ich exakt so notiert, sonst würde ich ja nicht nachfragen.

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Dann vergiss es am besten schnell wieder (oder merke es dir als Beispiel, wie man es nicht machen sollte ;-)).

Was genau wollte der Prof. denn zeigen?

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Der erste Teil handelte einfach nur über "Zwei Dezimalentwicklungen", wie es bei
9,999... = 10 = 10,000 der Fall ist. Das war mir einleuchtend. Obwohl ich eigentlich
kritisch bin und sage, 9,999... ist nicht 10, nähert sich aber der 10 an.

Danach wurden die unendlichen Summen gezeigt, aus welchen der Prof. dann
x = 0 gefolgert hat, weil für x = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) - 2(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
sowie der linke Teil, als auch der rechte Teil gleich sind. Alles in allem war es nur
der erste Tag der Analysis 1 :-)

Somit gilt also (in diesem Fall) x = n.d. ? :-)

VG

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Da bist du nicht der Einzige, der \(9,\overline{9}=10\) nicht glauben will. Dein Denkfehler ist wahrscheinlich, dass du immer nur an endlich viele Neunen denkst. Und dann ist es natürlich nicht gleich 10 (egal wie viele Neunen nach dem Komma stehen, solange es endlich viele sind). Bei "Periode 9" hat man aber nicht nur endlich viele Neunen. Den Beweis von \(9,\overline 9=10\) führt man z.B. mithilfe der geometrischen Reihe.

Aber zurück zum Thema: Gerade am ersten Tag Analysis sollte man Studienanfängern so etwas nicht beibringen. Aber auch Profs machen Fehler. In welchem Studiengang bist du denn?

\(x\) ist nicht definiert.

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Mathematik auf Bachelor (100 %). Mir macht Mathematik Spaß, da ich mir gerne Fragen stelle
wie "Was kann 1/0 sein?". Talentiert bin ich wahrscheinlich nicht, da ich nicht alles auf den
ersten / zweiten Blick verstehe. Ich bin eher derjenige der den "Drang" zu lernen hat :-)

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Talent hat nichts mit "alles auf den ersten Blick sehen" zu tun. Glaub mir, ich sehe auch nicht alle Zusammenhänge sofort, und habe es immerhin ins Masterstudium Mathematik "geschafft". :D
Spaß und Interesse an der Mathematik sind viel wichtiger.

Wenn du Mathematik studierst, wirst du bald verstehen, warum \(9,\overline 9=10\) ist (spätestens, wenn ihr euch in Analysis mit Grenzwerten und Reihen (also unendlichen Summen) beschäftigt).

Und wie du hier siehst: Das Kommutativgesetz der Addition gilt (im Allgemeinen) nur für endlich viele Summanden. Es gibt auch bestimmte Reihen, bei denen man die Summanden beliebig umordnen kann, ohne dass sich die Summe ändert; aber das lernst du alles noch. :-)

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Auf das Thema Grenzwerte und Reihen freue ich mich jetzt schon. Als Ersti ist man nur
etwas "ängstlich" was die neue Mathematik betrifft, aber ich sehe es nur als eine
Umstellung des Denkens. Im Studium offenbaren sich mir endlich die antworten
"Wieso ist das so", dieses Denken hat mich damals in der Schule eher gehindert.
Fürs Abi wurde einfach "gelernt" ohne überhaupt zu "verstehen". Aber gottseidank
habe ich das "Wieso ist das so"-Denken nicht verloren und beibehalten :-)

Vielen Dank für die ermunternden Worte Nick!

VG :-)