Überprüfung Stetigkeit / Differenzierbarkeit?

Question

Hi,

ich habe die Mathehausaufgabe bekommen die Funktion

f(x) = x^2-2 für x <= 1, sowie x-2 für x > 1 nach Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit zu untersuchen.

Mein Ansatz ist folgender:

a) Überprüfung der Stetigkeit an der Nahtstelle x0 = 1

lim (x^2-2) = -1 x-->1 (von linkskommend, also <)

lim (x-2) = -1 x-->1 (von rechtskommend, also >)

f(1) = -1

------>> f stetig an der Nahtstelle x0 = 1 > Grenzwert lim f(x) = -1 existiert. (x-->1) > f stetig für x€R

b) Überprüfung der Differenzierbarkeit: f'(x) = 2x für x<1; 1 für x>1

lim 2x = 2 x-->1 (von linkommend, also <)

.....

Wie geht es ab hier weiter? Ist mein bisheriger Ansatz richtig?? !

Answer 1

Deine Schreibweise ist gewöhnunsbedürftig :-)   [Gedankengänge sind aber gut!]

lim(x->1^-) f(x) = lim(x->1^-) [x² - 2] = -1

im(x->1^-) f(x) = lim(x->1^-) [x - 2] = -1     

-> lim(x->1^-) f(x) = -1 = f(1) [= -1] 

-> f  stetig in x=1

f '(x) =  2x  für x<1

             1   für x>1

lim(x->1^-) f '(x) =2 ≠ 1 = lim(x->1⁺)  f '(x)

-> f nicht diff'bar in x = 1