Übungsaufgabe: "Graph gehört zu einer Abbildung, genau dann..." beweisen:

Question

folgende Übung ist gegeben:
Seien M, N nichtleere Mengen und  L ⊆ M x N. Zeigen Sie, dass L genau dann Graph einer
Abbildung f : M → N ist, wenn für alle m ∈ M der Schnitt L ∩ {m} x N genau ein Element
enthält.

Ich weiß nicht, wie ich hier beginnen soll.
M und N sind auf jeden Fall nichtleere Mengen, also haben keine leere Menge.
L ist eine Teilmenge des karteisischen Produktes (m, n).

Zudem habe ich Probleme die Aussagen "wenn für alle m ∈ M der Schnitt L ∩ {m} x N" zu lesen.

Florian T. S.

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Vom Duplikat:

Titel: Aussagenlogik Funktionen

Stichworte: zeigen,aussagenlogik

ich würde gerne den Lösungsweg folgender Aufgabe wissen und darüber hinaus eine generelle Lösungsstrategie bzw. ein Tipp wie man an solche Aufgaben herangeht. Danke

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Generelle Lösungsstrategie:

-> Definitionen und Sätze lernen und verstehen

-> Aufgabe verstehen

-> Eventuell Vermutung aufstellen (falls Behauptung nicht schon vorgegeben)

-> Vorgehensweise des Beweises wählen

-> Assoziieren, assoziieren, assoziieren.....

Answer 1

"genau dann" zeigt man meistens, indem man beide Richtugnen zeigt:

1. \( L \text{ ist Graph einer Abbildung }\implies \forall m \in M |L\cap\{m\}\times N|=1 \)
2. \( \forall m\in M |L\cap\{m\}\times N|=1 \implies L \text{ ist Graph einer Abbildung } \)

Zu 1: Sei \( L \) der Graph einer Abbildung, \( m \in M \) und \( x,x'\in L\cap\{m\}\times N \). Zeige dass ein solches \( x \) existiert und dass \( x=x' \) ist.

Zu 2: Sei \( L \) nicht der Graph einer Abbildung. Zeige, dass dann ein \( m\in M \) existiert, so dass \( |L\cap\{m\}\times N| \neq 1 \) ist.

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Vielen Dank für den Ansatz oswald, ich werde versuchen das Ganze nachvollziehen zu können :-)

Ich habe noch eine offene Frage zu "Seien A, B, C Mengen. Dann gilt: B \ (A ∪ C) = (B \ A) ∩ (B \ C)",
es geht nur darum ob mein Beweis hier: https://www.mathelounge.de/273677/beweis-von-einer-abbildung-korrekt richtig oder falsch ist :-) Könntest du evt. bitte drüberschauen?

Answer 2

Eine Menge L von Paaren ist eine Abbildung von M nach N

genau dann, wenn es zu jedem x aus M genau ein y aus N gibt

mit (x|y) aus L .

Das steht etwas verklausurliert auch in der Aussage

"wenn für alle m ∈ M der Schnitt L ∩ {m} x N"

denn  {m} x N ist die Menge aller Paare mit

1. Komponente = m und beliebige 2. Komponente aus N.

und wenn L geschnitten damit immer genau ein Element

enthält, heißt das doch gerade, dass es zu jedem x aus M

immer genua ein Paar mit 2. Komponente in M gibt.

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Vielen Dank für die Atnwort mathef :-)