Fläche von einem Trapez

Question

Abend zusammen :)

Die Aufgabe lautet:

Die Punkte A (1/1/2), B (3/5/-2), C (2/3/2) und D (-4/-9/14) sind die Ecken eines Trapezes. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Leider habe ich kein Lösungsbuch. Würde jedoch trotzalledem fragen ob ihr auch die Lösung 80 heraus habt :)

Gruß

Tobias

Answer 1

Ich habe für die paralleleln Seiten AB=6 und CD=18 raus.

Und für die Höhe (2/3)*wurzel(6).

Also wäre Fläche A = 12* (2/3)*wurzel(6) ungefähr 19,6 FE.

Comments

Wie kommst du denn genau auf die Höhe wenn ich fragen darf? Rest verstehe ich :)

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Nimm einen belibigen Punkt auf AB, also (1;1;2) + r* ( 1 ;2;-2 )

und verbinde ihn mit C.

Gibt  Vektor CX = (2/3/2) -( (1;1;2) + r* ( 1 ;2;-2 ))

Und CX senkrecht auf AB, wenn das Skalarprodukt 0 ist, da

habe ich r = -1/3 raus für den Lotfußpunkt.

Und die Länge der Strecke vom Lotfußpunkt zu A

gab bei mir  (2/3) * √(6).

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Du sagst am Anfang, dass du einen beliebige Punkt auf der Geraden AB zunächst nimmst. Als Geradengleichung gibst du dabei allerdings (1/1/2)+r*(1/2/-2) an. Müsste es nicht eigentlich diese Geradengleichung sein:

(1/1/2)+r*(2/4/-4) ??

Weil als Aufpunkt nehme ich natürlich A (1/1/2) und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor zwischen A und B... Also : (3/5/-2) - (1/1/2) = 2/4/-4 (Richtungsvektor)

Dann käme ich nämlich auf einen Abstand des Punktes C von der Geraden AB von (2*√5)/3.

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(1/2/-2) und 2/4/-4 (   geben die gleiche Richtung an, deiner ist

nur doppelt so lang. Also müsstest du statt r=-1/3 da  r=-1/6 erhalten

(Kann auch sein, dass ich mich verrechnet hab.)

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Ich beschreibe mal wie ich es jetzt nachträglich gerechnet habe:

1) Ich gehe davon aus, dass die Verbindungsvektoren DC und DA die Vektoren sind, die kreuz multipliziert einen Vektor ergeben, dessen Betrag der Fläche eines Parallelogramms (keines Trapezes) entspricht.

Also: DC = (6/12/-12), DA (5/10/-12)

DC × (=kreuz) DA = (-24/12/0)

Das ganze mal 1/2 weil wir ja nur ein Trapez haben ergibt (-12/6/0)

Betrag von (-12/6/0) ist somit 6√5

2) Da die Allgemeine Formel für die Berechnung der Fläche 1/2*(a+b) * h ist, fehlt uns nun nur noch h. H bestimme ich, indem ich beispielsweise den Abstand des Punktes C (2/3/2) von der Geraden AB (1/1/2)+r*(2/4/-4) bestimme. Dazu bilde ich eine Hilfsebene: Ich nehme also als Normalenvektor der Ebene den Richtungsvektor der Geraden.

Also: 2x1+4x2-4x3=d

D berechne ich nun, indem ich den Punkt C einsetze.

Sprich: 2*(2) + 4*(3) - 4*(2) = 8

Daraus folgt: 2x1+4x2-4x3=8

3) Nun setze ich in diese Ebenen-Gleichung die Gerade ein, um so r zu bestimmen, das dann die Berechnung des Lotfußpunktes ermöglicht.

Also: 2* (1+2r) + 4* (1+4r) -4* (2-4r) = 8

Daraus folgt: r= 0,2777777

4) Nun bestimme ich den Lotfußpunkt, indem ich r in die Geradengleichung einsetze:

(1/1/2) + 0,27777 * (2/4/-4) = (1,5555/2,1111/0,8888) -> Lotfußpunktes

5) Nun nur noch den Verbindungsvektor zwischen dem Lotfußpunkt (hier genannt F) und dem Punkt C bilden.

FC= (2-1,5555/3-2,1111/2-0,8888) = (0,4444/0,8888/1,1111)

Betrag von FC ist also ungefähr 1,49 und damit beträgt die Höhe 1,49

6) Nun alles in die Formel zur Flächenberechnung einsetzen:

A= 6√5 * 1,49 = 20

Müsste doch so korrekt sein oder? Du kommst ja auf fast das gleiche Ergebnis. Wäre nett, wenn du mal kurz meinen Rechenweg nachfolziehst und ggf nachrechnest.

:)

Tobias

Answer 2

Hier die Sache ist doch ganz einfach; wir haben hier ein beliebiges n-Eck. Ausgehend von dem ( an sich beliebigen ) Koordinatenursprung O ( O ist uns ja gegeben; das Ergebnis hängt aber nicht von O ab ) zerlege ich das n-Eck in die Teildreiecke




       OAB  ;  OBC  ;  OCD  ;  ODA        (  1  )



    und jedes einzelne wird mit Kreuzprodukt berechnet. Die Summe der vier orientierten Dreiecke ergibt einen resultierenden Vektor, welcher auf der Trapezfläche senkrecht steht.
   D.h. aber Im Anschluss an die Flächenberechnung müssen wir rechtfertigen, dass die 4 Punkte A-D tatsächlich in einer Ebene liegen.



    1/2   A  X  B  =  1/2  ( 1 / 1 / 2 )  X  ( 3 / 5 / -2 )  =       (  2a  )
   
                         =  1/2  (  -  12  |  8  |  2  )             (  2b  )



         zur Kontrolle



     
  http://rechneronline.de/lineare-algebra/vektoren.php




    1/2  B  X  C  =  1/2  ( 3 / 5 / -2 )  X  ( 2 / 3 / 2 )  =      (  3a  )

                        =  1/2  (  16  |  -  10  |  -  1  )     (  3b  )

    1/2  C  X  D  =  1/2  ( 2 / 3 / 2 )  X  ( -4 / -9 / 14 )  =    (  4a  )

                        =  1/2  (  60  |  -  36  |  -  6  )    (  4b  )
   
    1/2  D  X  A  =  1/2  ( -4 / -9 / 14 )  X  ( 1 / 1 / 2 )  =     (  5a  )

                        =  1/2  (  -  32  |  22  |  5  )     (  5b  )

    F  (  ges  )  =  8  (  2  |  -  1  |  0  )   (  6a  )

            |  F  |  =  8  sqr  (  5  )     (  6b  )



     Hurra; meine Lösung stimmt. Woher ich das weiß? Wir wollten doch zeigen, dass dieses Trapez eine ebene Figur ist



     E  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  a  x  +  b  y  +  c  z  =  k  =  const     (  7a  )



   Statt der einen Ebene E betrachte mal eine parallele EbenenSCHAR in Abhängigkeit des Scharparameters k . Dann hat es Sinn, nach dem Gradienten der Niveauflächenschar E zu fragen.



    grad  (  E  )  =  (  dE/dx  |  dE/dy  |  dE/dz  )  =  (  a  |  b  |  c  )    (  7b  )



   D.h. die Koeffizienten von ( 7a ) kannst du unmittelbar aus den Komponentern des Gradienten ( 7b ) ablesen.
   Nun steht aber der Gradient senkrecht auf E; das Selbe trifft auch auf den Vektor F  in ( 6a ) zu. Somit hast du für die Ebene durch A-D



     E  =  2  x  -  y      (  8  )