Beispiel zum Homomorphiesatz mit Menge von Klassen

Question

folgendes Beispiel: Sei $$f: \mathbb{Z} -> \mathbb{Z}$$ mit $$x \rightarrow x^2+1$$ und $$x\sim y \leftrightarrow f(x) = f(y)$$ Bestimmen Sie $$g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/\sim~ \space h: \mathbb{Z}/\sim~ \rightarrow \mathbb{Z}$$ so dass $$f=hog$$ Also $$f = h(g(x))$$

g=x^2 und h=x+1. Aber was muss ich sonst noch genau machen? Kann mir da jemand eine Hilfestellung geben bitte?

Z/~ ist ja die Menge der Klassen. Und das ist halt der Bildbereich von g und der Definitionsbereich von h.

mfg

Answer 1

Dein g geht nach ℤ. Es soll aber nach ℤ/~ gehen. Erster Schritt ist deshalb, die Äquivalenzklassen zu bestimmen: es gilt x~y ⇔ x²+1=y²+1 ⇔ |x| = |y| und ℤ/~ = {{x,-x} | x∈ℤ}.

Damit könntest du g(x) = {x²,-x²} wählen. Das ist aber nicht sinnvoll, weil wegen f=h∘g zu jedem x₀ jedes Element von g(x₀) auf das selbe Element von ℤ abgebildet werden muss.

Wähle stattdessen g(x) = {x,-x}. Dann kannst du h({x,-x})=x²+1 nehmen. Du musst noch nachweisen, dass h wohldefiniert ist, weil es nicht klar ist, ob z.B. h({5,-5})=5²+1 oder h({5,-5})=(-5)²+1 sein soll. Außerdem musst du natürlich noch f=h∘g nachweisen.

Comments

Ah ok, d.h. zusammengefasst:

Wenn ich f= g o h habe, dann ist f= g(h(x)) und der Definitionsbereich von g ist Z und der Bildbereich ist Z\~(die Menge der Klassen und Klassen sind jetzt folgende: {-5,5}, {4,4}, {7,7}) D.h. in einer Klasse ist nur ein Paar drinnen also f(x),f(y) im Prinzip.

Hab ich das richtig verstanden?

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Äquivalenzklassen sind z.B. {-5,5}, {-4,4}, {-7,7}, nicht {4,4}, {7,7}.

f(x) und f(y) liegen genau dann in der selbenn Äquivalenzklasse, wenn f(f(x))=f(f(y)) ist. So ist die Äquivalenzrelation definiert. Die Menge {f(x), f(y)} ist nur dann eine Äquivalenzklasse, wenn x=y=0 ist.

Allerdings, wenn f(x) = f(y) ist, dann liegen x und y in der selben Äquivalenzklasse.

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Äq-Klassen können nur {-5,5}, {-4,4}, {-7,7} sein, da ja nur f(x)=f(y) sein kann, wenn x und y jene Werte annehme, wo für f(x) und f(y) dieselben Funktionswerte rauskommen, da wir ja eine x^2-Funktion haben, richtig? Das ist bie uns halt eine negative Zahl und eine positive Zahl. Ist das richtig?

>f(x) und f(y) liegen genau dann in der selbenn Äquivalenzklasse, wenn f(f(x))=f(f(y)) ist.
Was meinst du damit?

>Die Menge {f(x), f(y)} ist nur dann eine Äquivalenzklasse, wenn x=y=0 ist.
wenn x=y=0 ist, ist doch 1=1 für f(x)=f(y), dann müsste doch {1,1} eine Äq-Klasse in Z\~ sein oder?

>Allerdings, wenn f(x) = f(y) ist, dann liegen x und y in der selben Äquivalenzklasse.
Ja gut, dass habe ich ja oben schon gesagt, oder?

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> Das ist bie uns halt eine negative Zahl und eine positive Zahl. Ist das richtig?

Ja

> Was meinst du damit?

Für jedes x ist f(x) eine Zahl und für jedes y ist f(y) eine Zahl. Natürlich kann man sich fragen, unter welchen Bedingungen diese zwei Zahlen in der selben Äquivalenzklasse sind. Ich habe dazu einfach die Definition von "liegt bezüglich ~ in der selben Äquivalenzklasse" angewendet.

> wenn x=y=0 ist, ist doch 1=1 für f(x)=f(y)

Ja, und deshalb liegen 0 und 0 in der selben Äquivalenzklasse.  Ich erinnere noch ein mal an die Definition: x und y liegen in der selben Äquivalenzklasse, wenn f(x)=f(y) ist.

Frage ist, welche Zahlen liegen in der selben Äquivalnzklasse wie 0? Antwort: keine weil f(x)=f(0) ⇔ x²+1=0²+1 ⇔x²=0²⇔x=0

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Also zusammengefasst heißt das:

Folgende sind Äquivalenzklassen: {0,0}, {-5,5}, {-7,7} etc. So richtig?

Definiton für die Schreibweise ist ja so:

[x]~ = {y \in A: x~y}

A/~ = {[x]~: x\in A}

Also A ist ja irgendeine Menge und ~ kann die Relation sein, also Teilmenge von AxA. Was muss ich dann in den eckigen Klammern reinschreiben?

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In die eckige Klammer kommt ein Repräsentant der Äquivalenzklasse. Jedes Element der Äquivalenzklasse kann Repräsentant der Äquivalenzklasse sein (die sind ja schließlich alle äquivalent). du kannst also anstatt {-5,5} auch [5]_~ oder auch [-5]_~ schreiben.

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Hm okay, aber wie muss ich das schreiben, dass es Sinn ergibt?

[-5]~={y \in Z: -5 = y}

A/~ = {[-5]~: -5 \in A}

Aber so macht das doch keinen sinn oder?

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[5]_~ = {x ∈ℤ: x~5} du kannst auch die Definition von ~ heranziehen: [5]_~ = {x ∈ℤ: f(x)=f(5)} oder sogar die Definition von f: [5]_~ = {x ∈ℤ: f(x)=26}

Aber: ℤ/~ ist die Menge aller Äquivalenzklassen also ℤ/~ = {[x]_~: x ∈ℤ}

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Danke.

Geht [5]_~ = {x ∈ℤ: x^2 = 5^2} auch?

Und wie schreibe ich das A/~ an? Kann doch auch nicht so stimmen bzw. für mich ergibt das keinen Sinn.

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[5]_~ = {x ∈ℤ: x² = 5²} geht auch, weil zufälligerweise x² = 5² ⇔ x²+1 = 5²+1 ⇔ f(x)=f(5) ⇔ x~5.

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Ahh, gut danke.

Was für einen sinn macht aber folgendes?

A/~ = {[x]~: x \in A}

Hier wird doch nur gesagt, dass die äquivalenzklasse, wo x drinnen ist, ist auch ein Elemen von A. Und was bringt mir das zu wissen, dass das so ist?

Answer 2

Zwei Elemente von Z stehen in dieser Relation, wenn sie

den gleichen Betrag haben.

Die Klassen sind also im Prinzip 2-elementige (bis auf die

0-Klasse) Mengen wie etwa {1;-1}   {5;-5} etc.

Mit dem g wird also jedem x aus Z die Klasse zugeordnet,

in der es ist. Und mit dem h jeder Klasse das Element

x^2 + 1 mit x aus der Klasse. Da für alle Elemente einer

Klasse das x^2 den gleichen Wert ergibt, ist die

Abbildung wohldefiniert.

Comments

Z/~ = {[g(x)]~: g(x) \in Z} ()

[g(x)]~ = {y \in Z: x^2 = y^2}

Ist das so richtig?