Aufgabenstellung siehe Bild . Ich habe die summen soweit zerlegt dass steht ∑k^4 -∑(k-1)^4 Die zweite lässt sich mit indexschiebung bearbeiten dass dann steht ∑k^4 (von 1 bis n) -∑k^4 ( von 0 bis n-1). Die habe ich zusammengefasst als das element n^4 was überbleibt und folgende gleichung aufgestellt :
n^4= 4∑k^3 -6∑k^2 +4∑k -∑1 ( die Grenzen von den einzelsummen sind gleich , also von 1 bis n)
Aufgabe:
Es sei \( n \in \mathbb{N} . \) Verwenden Sie die folgende Idee um eine Formel für die Summe der dritten Potenzen \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3} \) herzuleiten: Die Summe
$$ \sum \limits_{k=1}^{n}\left(k^{4}-(k-1)^{4}\right) $$
kann auf zwei verschiedene Arten geschrieben werden: Einmal - als Teleskopsumme durch die Reste der ersten und letzten Glieder, die nicht wegfallen. Das andere Mal \( - \) durch Auflösen der Klammer - als Kombination der Summen der dritten, zweiten, ersten und nullten Potenzen. Dadurch (und durch die bekannten Formeln der Summen der niedrigeren Potenzen) kann \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3} \) berechnet werden.
, hab auf die summe ∑k^3 umgeformt und probiert die terme so zu vereinfachen das sie die korrekte lösungsformel : n^2*(n+1)^2/4 ergeben , aber ich komme nicht auf das ergebnis . Ich hab es mit einem anderen ansatz probiert welcher lautet ∑(k+1)^4 -∑k^4 ( grenzen bei beiden gleich ) und hab das ergebnis rausbekommen.
Liegt es am ansatz oder an mir? Bitte um Hilfe bzw. erklärungen . Danke !
