Geben Sie die Äquivalenzklassen an, in die R durch die Äquivalenzrelation zerlegt wird.

Question

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass auf R durch x ~ y <-> sin²(x) + cos²(y) = 1 eine Äquivalenzrelation definiert wird. Geben Sie die Äquivalenzklassen an, in die R durch die Äquivalenzrelation zerlegt wird.

Den ersten Teil, also zeigen, dass auf R eine Äquivalenzrelation definiert wird habe ich schon gemacht, jedoch habe ich überhaupt keine Ahnung wie man die Äquivalenzklassen angibt. In der Vorlesung haben wir das auch nicht wirklich besprochen, kann mir Jemand helfen?

Answer 1

Löse die Gleichung sin²(x) + cos²(y) = 1 nach y auf. Dadurch bekommst du eine Funktionsgleichung mit der du zu jedem x einen passenden Wert für y berechnen kannst. Bestimme zu einem x-Wert x₀ welche anderen x-Werte den selben y-Wert liefern. Diese Menge ist die Äquivalenzklasse von x₀.

Answer 2

die Äquivalenzklasse zu einem \(x \in \mathbb{R} \), bzg. der vorliegenden Ä-Relation ist die Menge aller reellen Zahlen, die zu \(x\) bzgl der Relation äquivalent sind. In diesem Fall also für \(x \in \mathbb{R} \):

$$ [x] = \{x, -x\} $$

Gruß

Answer 3

Die Grundmenge sei ℝ,

[x] steht für "Äquivalenzklasse von x" = Menge der zu x äquivalenten Elemente aus ℝ.

Für alle x∈ℝ:    [x]  = { y∈ℝ |  ∃k∈ℤ: (y = x + k • 2π) ∨  ∃k∈ℤ: (y = π - x + k • 2π) }

weil genau dann  cos(y) = cos(x) und damit sin²(x) + cos²(y) = 1 gilt.

Gruß Wolfgang