> Wieso kommt bei deiner Annahme dass f nicht injektiv ist, die leere Menge vor
Weil es so funktioniert.
Das wahrscheinlich keine befriedigende Antwort. Machen wir es deshalb mal anders herum: In dem Ausdruck f({x})∩f({x'})={y}⊈∅=f(∅)=f({x}∩{x'}) kommen drei =-Zeichen und ein ⊈-Zeichen vor. Bei welchem dieser Zeichen ist es dir nicht ganz geheuer, ob die angegebene Beziehung tatsächlich gilt?
> Wieso kann [f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A')] nicht gelten? Ich dachte, das wurde weiter oben bewiesen.
Oben wurde f(A∩A') ⊆ f(A)∩f(A') bewiesen, nicht f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A').
> Wie wurde das gezeigt?
Indem die Kontraposition bewiesen wurde.
> Hat der Teil unten mit der leeren Menge die behauptung bestritten oder bestätigt?
Er hat die Behauptung bewiesen indem die Kontraposition (wenn f nicht injektiv, dann nicht f(A∩A') = f(A) ∩ f(A') für alle A,A') bewiesen wurde.