Question

Wie lautet die Gleichung der Tangente, die durch den Punkt Q(0;-1) geht, mit f(X)=x³+1

f(x)=x³+1; Q(0/-1)

Answer 1

Lineare Funktionen durch den Punkt Q(0|1) haben die Funktionsgleichung t(x)=m·x-1.

Die Tangente t von f hat einen Punkt mit der Funktionn f gemeinsam. Das liefert die Gleichung t(x)=f(x). Löst man die nach m auf, so bekommt man m=(x³+2)/x.

Die Steigung der Tangente soll gleich der Steigung von f sein. Es ist f'(x) = 3x². Löse die Gleichung 3x²=(x³+2)/x. Dies liefert x=1, also m=(1³+2)/1=3 und somit t(x)=3x-1.

Answer 2

Hier zunächst die Skizze

P ( x  | f ( x ) )
Das Steigungsdreieck  hat die Steigung f ´( x )

f ( x ) = x^3 + 1
f ´( x ) = 3 * x^2
Q ( 0 | -1 )

Steigungsdreieck
f ´( x ) = Δ y / Δ x = [ f ( x ) -  ( -1 ) ] / [ x - 0 ]
3 * x^2 = ( x^3 + 1 + 1 ) / x  | * x
3 * x^3 = x^3 + 2
2 * x^3 = 2
x = 1
f ´( 1 ) = 3 = m ( Tangente )

t ( x ) = m * x + b
t ( 0 ) = 3 * 0 + b = -1
b =  -1

t ( x ) = 3 * x - 1